Свойства б/б величин.

1. Если одна из трех функций f(x), -f(x), ç f(x)ç является б.б. при х→ х₀, то и две другие функции также являются б.б. при х→ х₀.

2. Произведение б/б функции на функцию, предел которой отличен от нуля, есть б/б величина.

3. Сумма б/б величины и ограниченной функции есть б/б величина.

4. Частное от деления б/б функции на функцию, имеющую предел, есть б/б функция.

Например, функция f(x)= - является частным от деления б/б функции tg x при х→ П/2 на функцию 2х+5 имеющую предел П+5 при х→ П/2.

Доказательство св-ва 2. (остальные – аналогично).

Пусть f(x) – б.б. функция при х→ х₀, т.е. =∞ и =с (с≠ 0).

Докажем, что f(x)× j(х) - б.б. функция при х→ х₀.

Рассмотрим последовательность х_n→ x₀, n→ ¥ (предполагается, что x_n берутся из окрестности x₀ и x_n≠ x₀)

По условию =с (с≠ 0). Но тогда и =с (с≠ 0).

По условию f(x) – б.б. функция при х→ х₀, но тогда и f(x_n) – б.б. функция при n→ ¥. Следовательно, f(x_n)× j(х_n) - б.б. последовательность, как произведение б.б. последовательности и последовательности, имеющей конечный, отличный от 0 предел.

Т.к. последовательность х_n – любая сходящаяся к х₀, то заключаем, что

Это означает, что функция f(x)× j(х) - б.б. функция при х→ х₀. ч.т.д.