Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Как продвинуть сайт на первые места?
    Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.
    Ускорение продвижения
    Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.
    Начать продвижение сайта
  • Предел функции.






     

    1. Предел функции в точке.

    Односторонние пределы.

     

    Пример.

     

     

    Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .

    Опр. 1. Точка А называется пределом функции y=f(x) при , если для любой последовательности точек , сходящейся к , последовательность значений функции сходится к А. В этом случае пишут: = А, или при .

    Это определение называют определением предела по Гейне (нем. математик XIX в.)

     

    Замечание. Если точка , то предел , если он существует, равен значению функции в данной точке . (См. рис.1)

     

    Опр. 2. Если при стремлении к x принимает лишь значения, меньшие (большие) , и при этом , то говорят об одностороннем пределе слева (справа ).

    Пример.

     

    Утверждение. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела функции в данной точке.

     

    Существует и другое (равносильное) определение предела функции, в котором используется понятие окрестности. Оно называется определением по Коши.

    Опр. 3. Число А называется пределом функции y=f(x) при , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для всех x, удовлетворяющих условию , верно неравенство .

    В символической форме это определение записывается так:

    .

    Вопрос. Где здесь окрестности? Раскрыть скобки в неравенствах.

    Опр.3 можно также сформулировать в следующем общем виде:

    Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут = А, если .

     

    Геометрический смысл данного определения 3 заключается в следующем: какую бы (даже сколь угодно малую) окрестность точки А на оси Оу мы ни взяли, всегда найдется окрестность точки на оси Ох, являющаяся ее прообразом.

     

     

    2. Бесконечные пределы.

     

    Общее определение предела позволяет дать определение и для случаев, когда или А являются несобственными точками, т.е. .

    Опр. 4. Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут = А, если:

    .

    Опр. 5. Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут = А, если:

    .

    Самостоятельно: сформулировать определение предела при .

    Опр.6. Говорят, что функция y=f(x) имеет предел при , равный и пишут , если:

    .

    Самостоятельно: сформулировать определение предела, равного .

    3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их связь.

     

    Опр. Функция называется бесконечно малой при функцией, если ее предел при равен нулю:

    =0 .

     

    Опр. Функция называется бесконечно большой при функцией, если ее предел при есть несобственное число:

    = .

     

    Пример. Функция является: БМ при ; ББ при ; не является ни БМ, ни ББ при .

     

    Теорема 1. (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция

    y=f(x) имеет предел , то разность между функцией и значением ее предела есть бесконечно малая при .

    Док-во. Имеем:

    = А .

    Надо доказать, что - А)=0, т.е.

    . Очевидно, что это условие выполнено. ▲

    Следствие. Если функция y=f(x) имеет предел , то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой при функции : .

    Теорема 2 (о связи БМ и ББ функций). Если есть БМ Ф, и в некоторой окрестности точки , то функция есть ББ Ф. Если есть ББ Ф, то функция есть БМ Ф.

    Доказать самостоятельно, используя определение предела.

    4. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.