Билет 10.

1.Теорема Грина для односвязной области. Пусть на плоскости Oxy задана односвязная область D, ограниченная кусочно-гладким контуром C. На множестве определены непрерывные функции и , имеющие непрерывные частные производные. Тогда , при этом контур С обходится так, что область D остаётся слева.

Док-во. 1. Пусть D - простая область. Докажем сначала, что .

Равенство доказывается точно также: . Суммируя равенства и , получим одну из важнейших формул анализа -формулу Грина

и . По свойству аддитивности , . Суммируя эти выражения, убеждаемся, что криволинейные интегралы по отрезкам АВ и ВА взаимно уничтожаются, а сумма интегралов по кривым ВFA и AEB даёт интеграл по контуру С, т.е. формула Грина верна и для области, не являющейся простой. Доказательство остаётся справедливым и в случае, когда разбиение производится добавлением большего числа, чем одна, кривых.

2. Выпишите формулу для вычисления поверхностного интеграла 1 рода в декартовой системе координат. приведите пример.

Пример: вычилить поверхностный интеграл

G: x+y+z=1, первый октант

3. Теорема. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость. Пусть в окрестности точки функция представлена в виде сходящегося к этой функции ряда Тейлора , где - частичная сумма ряда, - его остаток. Так как имеет требуемое количество производных, она может быть представлена и в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: . Сравнивая эти представления, получаем . Из сходимости ряда к следует, что , что и требовалось доказать.

Достаточность. Если , то , т.е. остаток ряда стремится к нулю при , т.е. ряд сходится к функции .

4. Найдите поток векторного поля a=xi+4yj+(5z+1)k через плоскость x+2y+z/2=1, расположенную в первом октанте, нормаль образует острый угол с осью oz.

, ;

5. Найдите циркуляцию поля вдоль контура Г, ориентированного по вектору k, если Г- пересечение поверхностей

;