Лекция. Подобие треугольников в курсе геометрии 8 класса.

Цели изучения:

· сформировать понятие подобных треугольников;

· изучить признаки подобия треугольников;

· рассмотреть применение подобия к доказательству теорем и решению задач.

Содержание учебного материала по учебнику Л.С. Атанасяна

«Геометрия. 7 - 9 классы».

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

При этом если у треугольников АВС и А₁В₁С₁ углы соответственно равны: Ð А = Ð А₁, Ð В = Ð В₁, Ð С = Ð С₁, то стороны АВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁ называют сходственными.

Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения АВС и А₁В₁С₁ так, что Ð А = Ð А₁, Ð В = Ð В₁, Ð С = Ð С₁ (1),

. Число k, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Вводится обозначение DАВС ~ D А₁В₁С₁.

Далее изучаются признаки подобия треугольников.

Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство первого признака основывается на теореме, доказанной ранее: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы (с. 126).

Дано: АВС и А₁В₁С₁

Ð А = Ð А₁, Ð В = Ð В₁

Доказать:

DАВС ~ D А₁В₁С₁

Доказательство.

1. Ð С=180°-Ð А-Ð В.

Ð С₁=180°-Ð А₁-Ð В₁.

Ð С = Ð С₁, следовательно, углы треугольника АВС равны соответственно углам треугольника А₁В₁С₁.

2. Так как Ð А = Ð А₁, Ð С = Ð С₁, то и .

Из этих равенств следует, что . Аналогично, используя равенства

Ð А = Ð А₁ и Ð В = Ð В₁, получаем . Пропорциональность сходственных сторон треугольников доказана. Итак, DАВС ~ D А₁В₁С₁.

Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Дано: АВС и А₁В₁С₁

Ð А = Ð А₁, .

Доказать:

DАВС ~ D А₁В₁С₁

Доказательство

Доказательство второго признака сводится к первому признаку: достаточно доказать, что Ð В = Ð В₁.

1. Рассмотрим треугольник АВС₂: Ð 1 = Ð А₁, Ð 2 = Ð В₁.

DАВС₂ ~ DА₁В₁С₁ (по двум углам), поэтому . По условию , следовательно, АС=АС₂.

2. DАВС = DАВС₂ (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно,

Ð 2 =Ð В и Ð 2 =Ð В₁: Ð В = Ð В_1. Тогда DАВС ~ D А₁В₁С₁ (по двум углам).

Третий признак подобия треугольников: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство третьего признака сводится ко второму признаку и аналогично ему. Рассмотреть самостоятельно (с. 144).

В учебнике рассматриваются практические приложения подобия треугольников: при решении задач на построение методом подобия и при проведении различных измерительных работ на местности (определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки).

Содержание учебного материала по учебнику А.В. Погорелова

«Геометрия. 7 - 11 классы».

Определение. Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Обозначение F~F¢.

Таким образом, два треугольника называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Напомним, что преобразование фигуры F в фигуру F¢ называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки Х¢, Y¢ фигуры F¢, то Х¢ Y¢ = k × X Y. Причём число k - одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия.

Рассматриваются свойства преобразования подобия, в частности, оно сохраняет углы между полупрямыми.

Рассматривается преобразование гомотетия, которое задаётся центром и коэффициентом гомотетии – положительным числом k.

Построим точку Х¢, гомотетичную точке Х. Для этого проведем луч Ох и на нём отложим отрезок ОХ¢ =2ОХ. Аналогично строится точка Y¢, гомотетичная точке Y.

Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка Х переходит в точку Х¢, построенную указанным способом называется гомотетией относительно центра О. Фигуры F и F¢ называют гомотетичными.

Доказывается, что гомотетия есть преобразование подобия.

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных треугольников DАВС и D А₁В₁С₁ Ð А = Ð А₁, Ð В = Ð В₁, Ð С = Ð С₁ и .