Die “Elemente” des EUKLID.

/1/ In der Periode des Hellinismus¹ entstand der berufsmä ß ige Wissenschaftler, also ein Mann, der sein Leben dem Studium der Wissenschaft widmete und dafü r ein Gehalt empfing. Einige der bedeutendsten Vertreter dieses Kreises von Menschen lebten in Alexandria, wo die Ptolemä er³ ein groß es Zentrum der Gelehrsamkeit in dem so genannten Museum mit seiner berü hmten Bü cherei errichteten. Hier wurde das griechische Erbe in Wissenschaft und Literatur bewahrt und weiter entwickelt. Der Erfolg dieser Einrichtung war beträ chtlich. Unter den ersten Gelehrten, die mit Alexandria verbunden waren, befand sich EUKLID (306 – 283 v. u. Z.), einer der einflussreichsten Mathematiker aller Zeiten. Seine berü hmtesten und wissenschaftlich bedeutsamsten Werke sind die 13 Bü cher seiner “Elemente”.

/2/ Wir wissen nicht, wie viele dieser Texte von EUKLID selbst stammen und wie viele von ihnen nur Zusammenfassungen sind, aber sie zeigen an vielen Stellen eine erstaunliche sachliche Tiefe. Es sind die ersten vollstä ndigen mathematischen Lehrbü cher, die aus der griechischen Antike auf uns gekommen sind.

/3/ Die Darstellung EUKLIDs wird auf eine streng logische Deduktion der Sä tze aus einer Anzahl von Axiomen gegrü ndet. Die ersten vier Bü cher behandeln die ebene Geometrie und fü hren von den elementarsten Eigenschaften von Geraden und Winkeln zur Dreieckkongruenz und Flä chengleichheit, zum Satz des PYTHAGORAS, zur Konstruktion eines Quadrats, das zu einem gegebenen Rechteck flä chengleich ist, zum Goldenen Schnitt, zum Kreis und zu den regulä ren Vielecken.

/4/ Das fü nfte Buch stellt die Theorie der Grö ß en in rein geometrischer Form dar, und im sechsten Buch wird sie auf die Ä hnlichkeit von Dreiecken angewendet. Diese Darstellung der Ä hnlichkeitslehre ist einer der hauptsä chlichen Unterschiede zwischen der EUKLIDischen Behandlung³ der ebenen Geometrie und dem gegenwä rtigen Verfahren und muss dem besonderen Gewicht zugeschrieben werden, das von EUKLID der neuen Theorie beigemessen wird. Die geometrische Diskussion wird im zehnten Buch wieder aufgenommen, das meist als das schwierigste unter den Bü chern des EUKLID angesehen wird und das eine geometrische Klassifizierung quadratischer Irrationalitä ten und von Quadratwurzeln aus solchen enthä lt, die wir daher als Zahlen von der Form ⁽¹⁾ bezeichnen. Die letzten drei Bü cher behandeln rä umliche Geometrie und fü hren ü ber rä umliche Winkel, die Volumina von Parallelepiped, Prisma und Pyramide zur Kugel.

/5/ Die Bü cher VII – IX sind der Zahlentheorie gewidmet – nicht einer Technik des Rechnens, sondern solchen Pythagoreischen Fragestellungen wie der Teilbarkeit von ganzen Zahlen, der Summierung von geometrischen Reihen und einigen Eigenschaften von Primzahlen. Von besonderem Interesse ist der Satz VI.27, der das erste Maximumproblem enthä lt.

/6/ Das fü nfte Postulat von Buch 1 (die Beziehung zwischen “Axiomen” und “Postulaten” bei EUKLID ist nicht klar) ist dem so genannten “Parallelenaxiom” gleichwertig, nach welchem durch einen Punkt auß erhalb einer gegebenen Geraden eine und nur eine Gerade parallel zu dieser Gerade gezogen werden kann.

/7/ Die algebraischen Ü berlegungen werden bei EUKLID vollstä ndig in geometrischer Fassung dargestellt. Der Ausdruck ⁴ wird als Seite eines Quadrates der Flä che A eingefü hrt, das Produkt a × b als Flä che eines Rechteckes mit den Seiten a und b. Diese Ausdrucksweise war in erster Linie eine Folge der Theorie der Proportionen von EUDOXUS⁵, der ganz bewusst numerische Angaben fü r Strecken verwarf. Die Arithmetik beschrä nkte sich ausschließ lich auf “Zahlen” (positive ganze Zahlen) und ihre Verhä ltnisse.