Понятие о линейных и нелинейных уравнениях

Лабораторная работа №1

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Понятие о линейных и нелинейных уравнениях

Уравнение представляет собой выражение вида

, (1)

в котором g (x) – некоторая функция, x является неизвестной переменной, а b – некоторое число. Решением (корнем) этого уравнения называется всякое число x из области определения g (x), которое, будучи подставлено в уравнение (1), обращает его в тождество. Под термином «решение уравнения» также понимают процесс нахождения (вычисления) его корней. Решить уравнение – значит найти совокупность (множество) всех его корней. Иногда задача ставится о решении уравнения лишь на каком-либо подмножестве числовой оси x (например, на отрезке), тогда ищется совокупность корней уравнения, принадлежащих этому подмножеству.

Пусть x, b – векторы размерности n, тогда приходим к системе уравнений

,

,

…………………….

,

или в векторной записи

. (2)

В этом случае решением является не число, а числовой вектор .

Линейные уравнения вида (1) или (2) характеризуются важным свойством: функция g (x) (или вектор-функция ) удовлетворяет принципу суперпозиции, состоящему в том, что если аргумент x есть линейная комбинация (суперпозиция) двух точек

где c ₁ и c ₂– константы, то значение g (x) есть линейная суперпозиция значений g (x ₁) и g (x ₂), а именно

(3)

Легко проверить выполнение этого принципа для функций g (x)= ax (a – const) и g (x)= Ax, где A – матрица размером n ´ n.

Нелинейные функции не удовлетворяют принципу суперпозиции, например, для g = x ² (3) не выполняется:

Этот факт лежит в основе различия линейных или нелинейных уравнений.

Линейные уравнения могут иметь

1) единственное решение;

2) бесконечное множество решений;

3) не иметь решений вовсе.

Линейные уравнения являются частным случаем нелинейных, поэтому для нелинейных уравнений возможны упомянутые выше три варианта, а также

4) имеется n решений, 2£ n < ¥.

Примером четвертого варианта могут служить задачи определения корней полиномов P_n (x)= a ₀+ a ₁ x + a ₂ x ²+…+ a_n xⁿ

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцедентные. Алгебраическими называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцедентными.

Нелинейные уравнения принято записывать в виде

f (x) = 0, (4)

который получается из (1) путем замены f (x) º g (x) – b.

Заметим, что для уравнения (4) также можно сформулировать критерий линейности: линейные операции над аргументом x (умножение на число и добавление постоянной) не меняют вида этого уравнения.