Теоретико-множественный смысл суммы 2х ц.н.ч. Законы сложения.

Рассм задачу: Алеша нашел 3гриба, а Марина нашла 4 гриба. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо объединить 2 мн грибов и сосчитать сколько элементов в объединении. Суммой 2х ц.н.ч. а и в назыв. кол-во эл-ов в объединении непересек-ся мн-в А и В, таких что n(А)=а n(В)=в. а+в=n(АUВ), А пересеч В=Ǿ, n(А)=а, n(В)=в.. Сумма всегда сущ. И единс(следует из определения суммы). Действие при помощи кот. нах. сумму наз. сложение, а числа-слогаемыми.. Пример: польз. опред-ем суммы, показ., что 3+2=5. Законы сложения: 1) коммутативный. Для любых ц.н.ч. а и в выполн. Равенство а+в=в+а. Д-во: а= n(А), в=n(В), тогда а+в=n(АUВ)=n(ВUА) –перемест. закон для объедин. мн. =опред. слож.=в+а; а+в=в+а 2)ассоциативный. Для любых ц.н.ч. а и в выполн. равенство (а+в)+с=а+(в+с). Пусть а=n(А), в=n(В), с=n(С) и пусть А пересеч В=Ǿ, В пересеч С=Ǿ; (а+в)+с= n(аUв)+n(c)по определ суммы=n(аUв)Uс)по опред. суммы использ. ассоц. закон для объедин мн (аUв)Uс= аU(вUс) n(АU(ВUС))= n(А)+n(ВUС)опередл. слож.ц.н.ч.= а+(в+с). Комут-й и ассоц. з-ны справедливо для люб. кол-ва слогаемых при люб. перестан-ке слог-х и люб. их группировке сумма не меняется.

18. Разностью 2х ц.н.ч. а и в наз-ют кол-во эл-ов в дополнении мн-ва В до мн-ва А, при усл. что а=n(А), в=n(В), ВсА.(а-в=n(), n(b)=0, n(B)=b? BcA)/ Действие при помощи которого нах разность а-в наз вычитанием, число а уменшаемым, число в-вычитаемым. Разностью 2х ц.н.ч. назыв. такое ц.н.ч. с, сумма которого и числа в равна а. а-в=с «=»с+в=а, с принадл-ит Nо. Теорема усл. сущ-я «-»: разность 2х н.ч. а и в, сущ-ет тогда и только тогда, когда в≤ а Док: 1) в≤ а à а –в сущ., в=аà а-в=0 а-в-сущ., в< аà значит сущ. такое число с такое что в+с=а(из опред. меньше)à а-в=с-сущ. 2)а-в сущ.--> в≤ а; а-в=с, а=в+с; с=0à а=в с> 0, из опред. меньше в< аà в≤ а. Если «-» 2х ц.н.ч. сущ-ет, то она един-на. Док-во: Пусть сущ. 2 знач. Разности а-в=с1 и а-в=с2 По опред. разности из а-в=с1 получ. а=в+с1, а-в=с2 получ. а=в+с2 =»в+с1 =» в+с2 =» с1=с2. Правило вычит числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы достат. вычесть это число из одного из слогаемых суммы и к получ. числу прибавить др. слогаемое. Правило вычит. суммы из числа: чтобы вычесть из числа сумму чисел достат. вычесть из этого числа последов. Каждое слогаемое одно за другим. а-(в+с)=(а-в)-с

19.Произведения -2х цел-х неотр-х чисел назыв. такое ц.н.ч. а*в, кот. удолет. усл. Если в> 1, то а*в=а+а+а.., если же в=1, то а*1=а, если в=0, то а*0=0. Теоретико-множественный смысл этого опред-я след. произ а*в это число элементов в объедин. непересек. мн(равномещных) в каждом из кот содерж по а-элементов. Действ. При помощи кот нах. произ. чисел а и в назыв произ, а числа множителями. Произвед. любых ц.н.ч. всегда сущ. и единст. Опред-ие2: Произведение 2х целых неотриц. чисел а и в наз-ся ц.н.ч., кот.яв-ся количеством эл-ов декартового произ-я таких что n(А)=а, n(В)=в. И получили а*в=n(АхВ), где а=n(А), в=n(В). Законы умножения: 1) Комутат. Для любых ц.н.ч. а и в а*в=в*а Док-во: а*в=опредумн.n(АхВ)=n(ВхА)=в*а.2) Ассоциативныйдля любых ц.н.ч а, в, с справдливо равенство (а*в)*с=а*(в*с) (а*в)*с опред. умн=n(АхВ)хС) равномещны =n(Ах(ВхС)опер. умн.=а*(в*с) 3) Дистрибутивный относ-но «*» «+» а =n(А), в=n(В), с=n(С) А персеч В=Ǿ (а+в)*с=а*с+в*с До-во (а+в)*с=опред. слож и умн.= n(АUВ)*С= дистрибуд. закон объедин мн относит. декартов. произ. n(АхС)U(ВхС)=опред. суммы =n(АхС)+n(ВхС)=опред. умн.=а*с+в*с. Дистриб. Закон относ. Вычитания: для любых ц.н.ч. а, в, с и а≥ в справедл. Равенство(а-в)*с=а*с-в*с. Перемест. и сочет законы умн. можно распост на любое число множителей.

20.Теоретико- множественный смысл частного целого неотриц-го числа и натур-го. Рассмотрим задачу: 8 яблок разложили на тарелки по 2 яблока на каждую, сколько тарелок понадобилось? (8/2=4 оооооооо объеденить по 2 кружочка). В задаче рассм-тся мн в котором 8 элементов, оно разбивается на мн в кот-м по 2 элемента, т.е. на равномощные подмн (попарнонепересек). В задаче спрашив сколько таких подмн получилось. Рассм 2 задачу: 12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько каран получил каждый? (поочереди давать карандаши каждому, 13/3=4) Число 4 здесь выступает в другом смысле-это число элементов в каждом из 3 равномощных непересек подмн на кот-е разбито мн содерж 12 элементов. Определение: Пусть дано мн-во А, n(А)=а и мн-во А разбито на попарно непересек равномощные подм-ва. 1.Если в –число подм-в в разбиении мн-ваА, то частных чисел а и в наз-ся число эл-ов каждого подм-ва. 2.Если в –число эл-ов каждого подм-ва в разбиении мн-ва А, то частнм чисел а и в наз-ся число подм-в в этом разбиении. Действия при пом кот наход частн а и в нах делением, число а-делимым, в –делителем. Опред-ие: Частным цел-го неотр-го числа а и натур-го числа в наз-ся такое целое неотриц-ое число с, произведение кот. и числа в равно а. а: в=с «=»с*в=а Условие существования частного: Теорема: Для того, чтобы частное 2х натуральных чисел сущ-ло, необ-мо чтобы в . Докоз: по условию теоремы частное чисел а и в существует: а: в=с=»а=в*с. Т.к. число с –натуральное, то с≥ 1=»1≤ с умножим на число в (в≤ с*в=»в≤ а)Теорема: если частное 2х цел. неотриц. чисел сущ-т, то оно единст-ое. Док: предположим обратное: а: в= ; » а=в* ; а=в* =»в =в . Получили противоречие, знач предположить частным неединственным –нельзя. Теорема доказана. Правила дел суммы на число: Если числа а и в делятся на число с, то и их сумма (а+в): с, частное полученное при делении суммы а+в на число с равно сумме частных полученых при делении а: с и в: с ((а+в): с=а: с +в: с. Правило дел число на произведение. Если натур число а делится на натур числа в и с, то чтобы разделить а на произведение исел в и с достаточно разделить число а на в и полученное частное на с (а/(в*с)=(а/в)/с=(а/с)/в). Правило умножения числа на частное 2 чисел чтобы умножить чилло на частное 2х чисел достаточно умножить это число на делимое и полученое произведение и разделить на делитель (а*(в/с)=(а*в)/с.

21. Отношение делимости на множестве натуральных чисел, его св-ва. Определение: Пусть даны цел. неотр. ч. а и натур число в, если при делении с астатком а на в, остаток равен 0, то число в назыв делителем числа а. Из опред следует, что если в делитель а, то существует такое натуральное число с, что а=в*с, при этом число в назыв делителем числа в, а число а кратным числа в. (28/7, 7 делитель ч. 28, а 28 кратно 7) Св-ва: 1) отно-е дел-ти на мн-ве N-чисел рефлексивно (т.к любое натур число делится само на себя). 2) отнош-е дел-ти на мн-ве Nчисел антиссиметрично, т.е. для любых А(вверх)а, вєN: а/в и(крышечка вниз) в/а=»а=в. 3) Транзитивность (а, в, с принад-т N), а: в, в: с=»а: с 4) отнош-е дел-ти на мн-ве Nч. Явл.отнош-е нестрогого частичного порядка. Порядок не строгий, т.к. от ношение рефлексивно, антисим., транз. Теорема о делимости суммы: Если кажд. слог-ое суммы: на N ч. суммы, то и сумма: на это число. а: с, в: с=»(а+в): с Теорема 2: Если 1-ое слогаемое суммы не делится на N ч. с, а все остальные слагаемые делятся на ч. с, то вся сумма не: на ч. с. ( а: с, в: с=» : с. Теорема о делимости разности: если умень-ое а и вычитаемое в: на данное ч. с и ч. а ≥ в, то разность ч-л а и в: на с. Теорема о делимости произведения: если хотябы 1 из множ-ей произ-я делится на данное ч. с, то произ-е делится на это число. (а: с=»ав: с). Теорема 2: если в произ-и а*в 2-ух множ-ей, 1-н: на ч. с, а 2 на д, то произ-е ав: сд. (а: с, в: д=»(ав)/(сд).

22. С-ма сч- совокупность приемов для записи наименования чисел, а также для выполнения дей-й над ними. Все системы счисл в зависим от принципа записи чисел дел на позиц. и непозиц. Непоз сис-ма счисл харак-ся тем, что каждой из знаков кот-й употребляется в данной сис-ме для обозначения чисел всегда обозначает одно и тоже число не зависимо от места кот-ое занимает этот знак в записи числа. В позиционной сис-ме счисл один и тот же знак может обозначать разные числа в зависимости от места которе этот знак занимает в записи числа.В 10-ой си-ме счил-я исп-ся для записи чисел 10 знаков(цифр)0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а из них образуются конечне последо-ти, кот. яв-ся краткими записями чисел.(5781=5тыс+7сот+8дес+1ед) Определ: 10-ой записью нат. числа в виде х= * . Где , , , -принимают значение от 0 до 9 и аn≠ 0 Числа(1, 10, … ) наз-ся разр-ми ед-ми 1-го 2-го и т.д. разряда. Причем 10 ед-ц одного разряда составляют одну ед-цу след-го высшего разряда. т.е. отношение соседних разрядов=10-основание системы счисл.. Три первых разряда в записи числа соед-ют в одну группу и наз-ют 1-ым классом или классом единиц. В 1-й класс входят (ед., дес., сотни). В 4-й 5-й и 6-й разряды в записи числа образуют 2-ой класс тысяч в него вход. (ед. тыс., дес. тыс., сотни тыс.). Затем идет 3-й класс (миллионов) и т.д. Основанием позиционной с-мы счисл-я м/б любое нат. число р≥ 2. Если р=2, то с-ма наз-ся двойной, если р=3, тройной и т.д. Дей-е над числами в с-ме счисл. с основ-ем р(≠ 10) вып-ся по тем же правилам, что и в 10-ой с-ме счисл. Поэтому расс-м вып-е дей-й над ц.н.ч. 10-ой с-ме счисл. Для сложения однозн. чисел состав-ся таблицы «+» ими польз-ся и при слож-и многозн-х чисел. Многознач-е числа склад-ся столбиком. 273+3526=представим каждое слогаемое в виде 10=(2* Представим слогаемое в виде сумм степеней 10 с коофц-ми, раскроем скобки в полученом вырожении, поменяем слогаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с дес. и заключим их в сковки. Все это можно сделать на основании каммут и ассоц законов сложения. Вынесем за скобки в первой , во второй 10. Это можно сделать в соотв с дистриб зак умн. относ. сложен. Сложение данных чисел 273 и 3526 свелось к сложению однозначных чисел изображенных цифрами соот-их разрядов. Вычит аналогично. Произведение однозн чисел в таблице умн одноз ч. Рассм процесс умн 426*3=представим число в виде степ 10 с коофиц (4 . деления рассматр как деление с остатком. По опред-ю разделить с остатком целое неотр число а на натур число в-это знач найти такие целые неотриц числа q и r, что а=bq+r, где r≥ 0˂ b, а число q-наз-ют не полным частным. При делении однозн чисел и двузначных не превыш 89 на однознач использ табл умн однозн чисел (54: 9, 45: 9).

23. Пол-ые рацион-ые. Одному и тому же отрезку можно поставить в соот-ии бесконечное множ-во дробей, выраж-х его длину при выбранной ед-це е, но длина отр-ка должна предст-ться един-м числом, поэтому равные дроби считают разл-ми записями одного и того же числа, а само это число наз-ют «+»-ым рац-ым числом. Опре-е: Полож-ым рац-ым числом наз-ся класс равных дробей, а каждая дробь принадлеж-ая этому классу есть запись этого рац-го числа. Теорема: для любого полож рациональн. числа сущ. одна и только одна несократим. дробь явл.-ся записью этого числа. Числа кот. дополняют мн-во нат. чисел, до множ. пол.рац. чисел назыв. Дробью числа. Если полож рац числа а, в представить дробями и , то сумма их чисел а ив назыв числом представленым дробью Законы сложения: 1) Камутат(А( вверх)а, в€Q+), а+в=в+а Док-во: а=m/n, в=р/n: а+в=m/n+p/n=определ. суммы= m+p/n=коммут закон для натур чисел=р+м/n= p/n+m/n=в+а 2) Ассоциат (а, в, с € Q+)(а+в)+с=а+(в+с) Док-во: (а +в)+с= а+(в+с): а=m/n, в=р/ n, с=q/n (а+в)+с=(m/n+p/n)+q/n предел. суммы = m+p/n+q/n опред. суммы= (m+p)+q /n ассоц. закон чисел для натуральн. чисел= m+(p+q)/n= m/n+(p+q)/n=m/n+(p/n+q/n)=a+(в+с) Законы умнож: 1) Камутат( а, в € Q+ ) а*в=в*а Док-во: так же как и при+ 2)Ассоциат (а, в, с € Q+) а*(в*с)=(а*в)*с Док-во: 3) Дистрибутй(распределительный) (а, в, с € Q₊) а*(в+с)=ав+ас Док-во: а= m/n, p/n, c=q/r (а+в)с=(m/n+p/n*q/r=опредл.слож. (m+p)/n*q/r= опредл. умн. (m+p)*q/nr дистриб. закон для натур. чисел=(mq+pq)/nr=mq/nr+pq/nr=m/n*q/r+p/n*q/r=ac+вс

24. Положительные действите числа. Возьмем произвольный отрезок а выберем единичный отрезок е, пусть в отрезке а содержится n отрезков е, и отрезок а1 короче отрезка а. тогда длина отрезка а меньше чем (n+1)е, но больше nе. Значение nе и (n+1)е приближенные значения длины отрезка а с недостатком и избытком при единицы измерения е. Чтобы измерить длину отрезка з большей точностью равной е, и будем откладывать его на отрезке а1. Пусть отрезок значит длина отрезка а=n, если при этом в отрезке а1, останется отрезок а2 короче отрезка продолжим процесс дальше. Процесс измерения длины отрезка приводит к 3 случаям: 1. На некотором шаге прцесс измерения закончится, тогда длина отрезка выразится конечной десятичной дробью, т.е рациональным ислом. 2. Описанный прпоцесс измерения длины отрезка бескон., и длина отрезка а выраж бескон десятичной переодич дробью, т.е рац ч. 3. Прцесс измер длины отрезка бескон и длина отрезка не выраж бесконеч десятичной переодич дробью (бескон., но непереод-ирац. ч.). Понятие- п.д.ч.наз объединение положит-х рац-х и полож. иррац-х чисел. (Q+объед I+=R+; QєR, IєR, QпересечI≠ пустое мн. Иррац-е – беск. 10-е непериодич-ие дроби. При выполн-и дей-й над R+ впол-ют дейс-я их приближ-ми знач. Прибл-ым знач. R+ по недостатку с точностью до 1/10n, наз. число, получ-ое из данного если отбросить все его цифры, стоящие справа от n-го 10-го знака. Чтобы получить приближ-ое знач-е R+ по избытку с точностью до 1/10n, то необ-мо записать его приближ-ое знач-е по недостатку с той же точностью и послед. цифру получаемой записи увеличить на 1-цу. (пи=3, 1416). Для произвольногого N-го числа а=n, n1, n2,..nк *nк+1.. Будем обозначать через приближ-ое значение по недостатку с точностью до 1/ , и а приближ-ое значение по избытку с той же точностью. . Пусть нам даны числа такие, что ак-˂ а˂ ак+; вк-˂ в˂ вк+. Суммой 2 положит дейст чисел а и в наз пол дейст число с=а+в, кот удовл услов: ак-+вк-˂ с˂ ак++вк+. Произведение 2 пол. д.ч. а и в наз п.д.ч. с=а*в, кот удовл нерав-ву: ак-*вк-˂ с˂ ак+*вк+. Разность 2 п.д.ч. а ив наз п.д.ч. с=а-в, кот удовл нер-ву ак—вк+˂ с˂ ак+-вк-. Разностью 2 п.д.ч а ив наз п.д.. с=а-в, такое что а=в+с. Частным 2 п.д.ч. а и в наз п.д.ч. с=а: в, такое что ак-: вк+˂ с˂ ак+: вк-. Частным 2 п.д.ч. а и в наз п.д.ч. с=а: в такое что а=в*с.

25.Велич. -особые св-ва реальных объектов или явлений. (св-во предметов имеет продяженность наз. длиной.).В матем. св-во предметов кот. можно характериз. определенным способом с помощью мн действит. чисел наз. велич.. Само +действит число-значение величины, а процесс с помощью ко-го данному св-ву ставиться в соответствии с некот.+дейст. число измерением велечины. Пусть М мн объектов обладающ. некот-ми св-вами Р. Пусть на мн М: 1)определ. отношен. эквивал-сти относительно св-ва Р; 2)В некот. элем. е выбран в качестве единицы; 3)для любых элемен. а и в мн М определена операция сложения а+в=с(с состоит из а и в). Опред.: Св-во Р назыв. Аддитивно-сколярной велеч, если сущест. такое отображен. f мн М на мн R+положит. рацион. число удолетвор. след. аксиомам. Сущ. элем. е€ М кот. соответствует: 1)f(е)=1(е-эталон измер-я велечины); 2)если а и в элем. мн М эквивал-ые другому относительно св-ва Р то f(а)=f(в).3)Если на мн М элем. с состоит из элем. а и в то f (с)= f(а) +f(в); 4) если на мн М определены отображ. f1 и f2 удолетвор. Св-ву 1-3 то сущест. такое положит. действит. число К что для любого элем-та х€М выполн. равенство f2(х)=К*f1(х). Отображ. F в этом случаи назыв. измерением велечины Р, а +действит числа f(а), f(в), f(с) мера величины или ее значения.1-я аксиома-гарантирует сущ-ние хотя бы одной единицы измерения величины. 2-я акс. –утверждает что эквивалент.(равные элем. имеют один. меры). 3-я акс. Говорит об аддитивности мн М т. е. определена опирация сложения и выполн. усл.: если элем. с равен сумме элементов а и в то его мера равна сумме мер слогаемых. Благодаря этому св-ву подобные велечины назыв. аддитивными. Столярными они вполне определ-ся. одним числовым значением, Кроме сколярных велечин рассматрив. еще и векторные велеч. для определ. векторной велич. необх. Указать не только ее численное знач, но и направление. (явл сила, напряжение электрич. тока). Из 4-ой акс.-любые 2 опирации измер. велич. дают результаты отлич-ся друг от друга только постоянным множителем Велич имеют св-ма: 1)любые две велич любого рода сравнимы: для любых величин а, в справедливо одно и только отн. а=в, а> в, а< в; -велич. Одного рода м/складывать, в результате получ. велич. того же рода; - велич. умн. на действит. число, получим велич. того же рода в=х*а.; -величины одного рода вычит. определ разность велич. через сумму: разность велич. через сумму: разность величин а и в назыв. такая велич. с равная а+в.. Сравнивая вел-ны непоср-но м/устан-ть их рав-во и нерав-во, чтобы получить более точный рез-ат сравнения необ-мо велич. измерить, измер. заключ. в срав-и вел-ны с некот. вел-ой того же рода, принятой за 1-цу измерения. Процесс срав-я зависит от рода рассм-х величин. Каким бы ни был это процесс в рез-те измер-я вел-на пол-ет опред-ое числит-ое зн-е при выбранной един-це. Если дана вел-на а и выбра 1-ца вел-ны е, то в рез-те измер-я величины а находят такое дей-ое число х, что а=хе. Число х- назыв. числ-ым зн-ем вел-ны а, при ед-це вел-ны е и запис-ют в сим-ой форме: х=fe(a) или х=mе(а). Св-ва измер-я вел-н: 1) если вел-ны а и в измерены при помощи 1-цы вел-ны е, то отнош-е между ве-ми а и в будут такими же как и отн. между их числ-ми зн-ми и наоборот. а=в «=» fe(a) =fe(в); а> в «=» fe(a)> fe(в): а< в «=» fe(a)< fe(в) 2) если вел-ны а и в измерены при помощи ед-цы е, чтобы найти числ-ое зн-е суммы вел-ны а+в, достат-но сложить числ-е зн-я вел-н а и в. а+в=с «=»fe(c)=fe(a)+fe(в). 3) если вел-ны а и в таковы что в=х*а, зде х +действ. число Х(€), а вел-на а измер-на при помощи 1-цы вел-ны е, то чтобы найти числ-ое зн-е вел-ны в при ед-це е дост-но число х умно-ть на числ-ое зн-е вел-ны а.4)если массы 2-х тел таковы что а=5кг, а=3кг, то можно утвердить а> в т. к. 5> 3