Метод расширенных матриц перехода

Методические указания

К выполнению лабораторной работы № 3 на тему

« Расчет положения схвата манипулятора методом расширенных матриц перехода»

Цель работы: Провести расчёт положения схвата для заданной кинематической схемы манипулятора методом расширенных матриц перехода.

Теоретические сведения

Прямая задача кинематики о положениях состоит в определении абсолютных положений звеньев при их заданных относительных положениях.

Метод расширенных матриц перехода

При решении прямой задачи о положении схвата манипулятора обычно используют метод преобразования координат. Из множества методов преобразования координат, которые отличаются друг от друга правилами выбора осей локальных систем координат, для манипуляторов обычно используется метод Денавита и Хартенберга. При использовании данного метода, оси координат располагаются по следующим правилам.

· Для звена i ось z_i направляется по оси кинематической пары, образуемой им со звеном (i+1). Начало координат размещают в геометрическом центре этой пары.

· Ось x_i направляется по общему перпендикуляру к осям z_i-1 и z_i с направлением от z_i-1 к z_i. Если оси z_i-1 и z_i совпадают, то x_i перпендикулярна к ним и направлена произвольно. Если они пересекаются в центре кинематической пары, то начало координат располагается в точке пересечения, а ось x_i направляется по правилу векторного произведения (кратчайший поворот оси z_i до совмещения с z_i-1 при наблюдении с конца x_i должен происходить против часовой стрелки).

· Ось y_i направляется так, чтобы система координат была правой.

В прямой задаче необходимо определить положение схвата манипулятора и связанной с ним системы координат по отношению к неподвижной или базовой системе координат . Это осуществляется последовательными переходами из системы координат звена i в систему координат звена i-1. Согласно принятому методу, каждый переход включает в себя последовательность четырех движений: двух поворотов и двух параллельных переносов, осуществляемых в указанной последовательности:

· поворот вокруг оси z_i-1 на угол , до тех пор, пока ось x_i не станет параллельной оси x_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора z_i-1 против часовой стрелки);

· перенос вдоль оси x_i на величину -a_i до совмещения начала системы координат O_i с точкой пересечения осей x_i и z_i-1 (отсчет по оси x_i от точки пересечения оси x_i и оси z_i-1);

· перенос вдоль оси z_i-1 на величину -s_i, после которого начало системы координат O_i оказывается в начале координат O_i-1 системы (i-1) (отсчитывается по оси z_i-1 от ее начала координат O_i-1 до точки ее пересечения с осью x_i);

· поворот i -ой системы вокруг оси x_i на угол до параллельности осей z_i и z_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора x_i против часовой стрелки).

Необходимо отметить, что знак угла поворота не имеет значения, так как в матрицах перехода используются направляющие косинусы (четные функции). Целесообразно рассматривать угол, обеспечивающий кратчайший поворот оси старой системы i до совмещения (параллельности) с соответствующей осью новой (i- 1 ). Перемещения начала координат определяются как координаты начала старой системы O_i в новой O_i-1.

В манипуляторах обычно используются одноподвижные кинематические пары: вращательные, или поступательные. Оба относительных движения как вращательное, так и поступательное, реализуются в цилиндрических парах, поэтому при общем представлении механизма используются цилиндрические пары. Опуская описание матриц поворота и переноса относительно осей x и z, запишем матрицу перехода из i -ой системы координат в (i- 1)-ю:

. (1)

В матрицу входят четыре параметра: , , , . Для любой кинематической пары три из них являются константами и только один – переменной величиной. Для вращательной пары (В) переменная величина – угол , для поступательной пары (П) – перемещение . Тогда матрица содержит только одну переменную величину, называемую обобщенной координатой.

Прямая задача кинематики о положениях решается с помощью следующей формулы:

, (2)

где - матрица, равная произведению матриц :

. (3)

В формуле (2) и - матрицы-столбцы размером , первые три элемента которых – это координаты произвольной точки схвата соответственно в системах n и 0.