Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q= 1—р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза,..., либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: x₁ = 0, 1, х₂ = 2,..., х_n+1 = n. Остается найти вероятности возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

(*)

где k=0, 1, 2,..., n.

Формула (*) и является аналитическим выражением искомoгo закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биноминальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

.

Таким образом, первый член разложения pⁿ определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член определяет вероятность наступления события n-1 раз; …; последний член qⁿ определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты p=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q=1-1/2=1/2.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: x₁ = 2, x₂= 1, х₃ = 0. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: 0, 25 + 0, 5+0, 25=1.