Относительная частота. Устойчивость относительной частоты

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведённых испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

,

где m – число появлений события, n – общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относитель­ной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действитель­ности; определение же относительной частоты предпола­гает, что испытания были произведены фактически. Дру­гими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту—после опыта.

Пример 1. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей

Пример 2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели

Длительные наблюдения показали, что если в одина­ковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свой­ство состоит в том, что в различных опытах относитель­ная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена от­носительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Подробнее и точнее связь между относительной часто­той и вероятностью будет изложена далее. Теперь же проиллюстрируем свойство устойчивости на примерах.

Пример 3. По данным шведской статистики, относительная час­тота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0, 486; 0, 489; 0, 490; 0, 471; 0, 478; 0, 482; 0.462; 0, 484; 0, 485; 0, 491; 0, 482; 0, 473.

Относительная частота колеблется около числа 0, 482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождении девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают при­мерно то же значение относительной частоты.

Пример 4. Многократно проводились опыты бросания монеты, которых подсчитывали число появления «герба». Результаты не­скольких опытов приведены в табл. 1.

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от чис­ла 0, 5, причем тек меньше, чем больше число испытаний. Напри­мер, при 4040 испытаниях отклонение равно 0, 0069, а при 24 000 испытаний — лишь 0, 0005. Приняв во внимание, что вероятность появления «герба» при бросании монеты равна 0, 5, мы вновь убеж­даемся, что относительная частота колеблется около вероятности.

Таблица 1