Закон больших чисел

Пусть проводится n независимых измерений некоторой неизвестной величины a. Ошибки измерения будем считать случайными величинами. Предположим, что , то есть отсутствует систематическая ошибка. Пусть дисперсии одинаковы и равны . Если за значение неизвестной величины a принять среднее арифметическое результатов измерений, то ошибка в определении числа a будет равна

и

.

Предположим, что нам нужно, чтобы ошибка не превосходила с достаточно большой вероятностью. Например,

. (2.1)

Оценку числа измерений n, необходимого для получения заданной точности, даёт неравенство Чебышева.

Теорема 1 (неравенство Чебышева). Если случайная величина имеет дисперсию, то при любом

. (2.2)

Неравенство Чебышева (2.2) справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Мы ограничимся доказательством этого неравенства для непрерывных величин.

Доказательство теоремы 1.

. ■

Вернёмся к неравенству (2.1), которое можно записать в эквивалентном виде

. (2.3)

По неравенству Чебышева (2.2) имеем

.

Следовательно, (2.3) будет выполнено, если

или . (2.4)

Выражение (2.4) и есть искомая оценка числа измерений n, необходимого для получения заданной точности измеряемой величины a.

Неравенство Чебышева позволяет получить следующую теорему.

Теорема 2 (теорема Чебышева). Если – последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные одной и той же постоянной дисперсии

,

то при любом

. (2.5)

Доказательство. Положим

.

Утверждение теоремы, то есть соотношение (2.5) равносильно тому, что при любом

. (2.6)

Так как величины попарно независимы, то

.

Но при любом . Следовательно,

.

Так что, согласно неравенству Чебышева

.

Переходя к пределу при получаем (2.6). ■

Приведём три важных частных случая теоремы Чебышева.

Теорема 3. Если последовательность попарно независимых случайных величин такова, что математические ожидания

,

а дисперсии ограничены одной и той же постоянной

,

то при любом

. (2.7)

Доказательство. Условия теоремы 2 выполнены. Поэтому при любом имеет место соотношение (2.5), полагая в котором , получаем соотношение (2.7). ■

Теорема 4 (теорема Пуассона). Пусть – число успехов в первых n испытаниях последовательности независимых испытаний и – вероятность успеха в k-м испытании, . Тогда при любом

. (2.8)

Доказательство. Представим в виде суммы n попарно независимых случайных величин

,

где

Тогда

.

Условия теоремы 2 выполнены. Следовательно, имеет место соотношение (2.5), полагая в котором , получим соотношение (2.8). ■

Теорема 5 (теорема Бернулли). Пусть – число успехов в n испытаниях Бернулли и p – вероятность успеха в отдельном испытании. Тогда при любом

. (2.9)

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы при . ■

Замечание 1. Теорема 3 дает основание так называемому правилу среднего арифметического. Именно, если n раз в одинаковых условиях производится измерение некоторой физической величины a, то согласно закону больших чисел, выражаемому в виде соотношения (2.7), при достаточно больших значениях n с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, в качестве приближённого значения a можно брать среднее арифметическое из результатов наблюдений этой величины:

.

Более сильными результатами по сравнению с теоремами 2 и 3 являются соответственно теоремы Маркова и Хинчина, при доказательстве которых также используется неравенство Чебышева.

Теорема 6 (теорема Маркова). Если последовательность случайных величин такова, что при

, (2.10)

то для любого выполняется соотношение (2.5).

Доказательство. Положим

.

Соотношение (2.5) равносильно тому, что при любом

.

Но это равенство выполняется, так как, согласно неравенству Чебышева (2.2) и условию Маркова (2.10), имеем

при . ■

Теорема 7 (теорема Хинчина). Если случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют конечные математические ожидания , то при любом будет выполняться соотношение (2.7).

Доказательство см. в [5], гл. 6, § 32.

Замечание 2. Если случайные величины попарно независимы, то условие Маркова (2.10) принимает вид

.

Отсюда видно, что теорема Чебышева является частным случаем теоремы Маркова.

Пример 1. Доказать неравенство Чебышева в форме

. (2.11)

Решение. Так как события и – противо-положные, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Отсюда и из неравенства Чебышева (2.2) следует

,

что равносильно (2.11).

Пример 2. В осветительную сеть параллельно включено 100 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет включена, равна 0, 5. Оценить вероятность того, что число включённых за время T ламп заключено в пределах от 40 до 60.

Решение. Так как лампы соединены параллельно, то включение каждой лампы не зависит от включения других ламп. Обозначим через дискретную случайную величину – число включённых ламп за время T. Тогда

.

В задаче требуется оценить вероятность события , которое равносильно . Отсюда следует, что . Подставив в неравенство Чебышева (2.11) , получим

.

Таким образом, с вероятностью не меньшей чем 0, 75 можно ожидать выполнения события .

Пример 3. Дискретная случайная величина задана законом распределения

	0, 3	0, 6
p	0, 2	0, 8

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что .

Решение. Найдём математическое ожидание и дисперсию величины :

;

.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме (2.11):

.

Подставляя , окончательно получим

.

Пример 4. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения:

p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Решение. Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины были попарно независимы и имели равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, то есть первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий.

Так как дисперсия

,

то найдём математические ожидания и :

,

,

так как закон распределения :

p

после сложения вероятностей одинаковых возможных значений будет иметь вид:

p

Найдём дисперсию :

.

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены числом , то есть второе требование выполняется.

Итак, поскольку оба требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.

Пример 5. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения:

p

Применима ли к заданной последовательности теорема Хинчина?

Решение. Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Хинчина, достаточно, чтобы эти величины были независимы, одинаково распределены и имели конечные математические ожидания.

Поскольку случайные величины одинаково распределены и независимы, то достаточно проверить требование конечности математических ожиданий:

.

Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равное нулю) математическое ожидание.

Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Хинчина применима.

Задачи

76. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на два средних квадратических отклонения.

77. Дано: и . Используя неравенство Чебышева, оценить снизу.

78. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

	0, 1	0, 4	0, 6
p	0, 2	0, 3	0, 5

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что .

79. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения:

	a	–a
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?