Дополнительный код

В дополнительном коде, также как и прямом, первый разряд отводится для представления знака числа. Прямой код используется для представления положительных чисел, а дополнительный – для представления отрицательных. Поэтому, если в первом разряде находится 1, то мы имеем дело с дополнительным кодом и с отрицательным числом.

Все остальные разряды числа в дополнительном коде сначала инвертируются, т.е. заменяются противоположными (0 на 1, а 1 на 0). Например, если 1 0001100 – это прямой код числа, то при формировании его дополнительного кода, сначала надо заменить нули на единицы, а единицы на нули, кроме первого разряда. Получаем 1 1110011. Но это еще не окончательный вид дополнительного кода числа.

Далее следует прибавить единицу к получившемуся инверсией числу:

1 1110011 + 1 = 1 1110100

В итоге и получается число, которое принято называть дополнительным кодом числа.

Причина, по которой используется дополнительный код числа для представления отрицательных чисел, связана с тем, что так проще выполнять математические операции. Например, у нас два числа, представленных в прямом коде. Одно число положительное, другое – отрицательное и эти числа нужно сложить. Однако просто сложить их нельзя. Сначала компьютер должен определить, что это за числа. Выяснив, что одно число отрицательное, ему следует заменить операцию сложения операцией вычитания. Потом, машина должна определить, какое число больше по модулю, чтобы выяснить знак результата и определиться с тем, что из чего вычитать. В итоге, получается сложный алгоритм. Куда проще складывать числа, если отрицательные преобразованы в дополнительный код. Это можно увидеть на примерах ниже.

Операция сложения положительного числа и отрицательного числа, представленного в прямом коде

1. Прямой код числа 5: 0 000 0101
Прямой код числа -7: 1 000 0111

2. Два исходных числа сравниваются. В разряд знака результата записывается знак большего исходного числа.

3. Если числа имеют разные знаки, то вместо операции сложения используется операция вычитания из большего по модулю значения меньшего. При этом первый (знаковый) разряд в операции не участвует.

4. _ 000 0111

5. 000 0101

6. -------------

7. 000 0010

8. После выполнения операции учитывается первый разряд. Результат операции 1 000 0010, или -2₁₀.

Операция сложения положительного числа и отрицательного числа, представленного в дополнительном коде

1. Прямой код числа 5: 0 000 0101
Прямой код числа -7: 1 000 0111

2. Формирование дополнительного кода числа -7.
Прямой код: 1 000 0111
Инверсия: 1 111 1000
Добавление единицы: 1 111 1001

3. Операция сложения.

4. 0 000 0101

5. + 1 111 1001

6. --------------

7. 1 111 1110

8. Проверка результата путем преобразования к прямому коду.
Дополнительный код: 1 111 1110
Вычитание единицы: 1 111 1101
Инверсия: 1 000 0010 (или -2₁₀)