Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Рассмотрим как пример Площадь поверхности тора

    В двух словах, тор – это бублик. Хрестоматийный пример, рассматриваемый практически во всех учебниках по матану, посвящён нахождению объёма тора, и поэтому в целях разнообразия я разберу более редкую задачу о площади его поверхности. Сначала с конкретными числовыми значениями:

    Пример 1

    Вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси .

    Решение: как вы знаете, уравнение задаёт окружность единичного радиуса с центром в точке . При этом легко получить две функции:

    – задаёт верхнюю полуокружность;
    – задаёт нижнюю полуокружность:

    Суть кристально прозрачна: окружность вращается вокруг оси абсцисс и образует поверхность бублика. Единственное, здесь во избежание грубых оговорок следует проявить аккуратность в терминологии: если вращать круг, ограниченный окружностью , то получится геометрическое тело, то есть сам бублик. И сейчас разговор о площади его поверхности, которую, очевидно, нужно рассчитать как сумму площадей:

    1) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «синей» дуги вокруг оси абсцисс. Используем формулу . Как я уже неоднократно советовал, действия удобнее проводить поэтапно:

    Берём функцию и находим её производную:

    Далее максимально упрощаем корень:

    И, наконец, заряжаем результат в формулу:

    Заметьте, что в данном случае оказалось рациональнее удвоить интеграл от чётной функции по ходу решения, нежели предварительно рассуждать о симметрии фигуры относительно оси ординат.

    2) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «красной» дуги вокруг оси абсцисс. Все действия будут отличаться фактически только одним знаком. Оформлю решение в другом стиле, который, само собой, тоже имеет право на жизнь:

    3) Таким образом, площадь поверхности тора:

    Ответ:

    Задачу можно было решить в общем виде – вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси абсцисс, и получить ответ . Однако для наглядности и бОльшей простоты я провёл решение на конкретных числах.

    Если вам необходимо рассчитать объём самого бублика, пожалуйста, обратитесь к учебнику, в качестве экспресс-справки:

    Что только мы не делали с параболой за годы обучения, поэтому было бы большим упущением не покрутить её в своё удовольствие:

    Пример 2

    Вычислить площадь сферы, полученной вращением окружности вокруг оси .

    Решение: из материалов статьи о площади и объемё при параметрически заданной линии вы знаете, что уравнения задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.

    Ну а сфера, для тех, кто забыл, – это поверхность шара (или шаровая поверхность).

    Придерживаемся наработанной схемы решения. Найдём производные:

    Составим и упростим «формульный» корень:

    Что и говорить, получилась конфетка. Ознакомьтесь для сравнения, как Фихтенгольц бодался с площадью эллипсоида вращения.

    Согласно теоретической ремарке, рассматриваем верхнюю полуокружность. Она «прорисовывается» при изменении значения параметра в пределах (легко видеть, что на данном промежутке), таким образом:

    Ответ:

    Если решить задачу в общем виде, то получится в точности школьная формула площади сферы , где – её радиус.

     

    Пример 3

    Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.

    Решение: график данной кривой можно посмотреть в Примере 6 урока о полярной системе координат. Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому рассматриваем её верхнюю половинку на промежутке (что, собственно, обусловлено и вышесказанным замечанием).

    Поверхность вращения будет напоминать яблочко.

    Техника решения стандартна. Найдём производную по «фи»:

    Составим и упростим корень:

    Надеюсь, с заштатными тригонометрическими формулами ни у кого не возникло затруднений.

    Используем формулу:

    На промежутке , следовательно: (о том, как правильно избавляться от корня, я подробно рассказал в статье Длина дуги кривой).


    Ответ:

     

    Пример 4: Решение: вычислим площадь поверхности, образованной вращением верхней ветви вокруг оси абсцисс. Используем формулу .
    В данном случае: ;

    Таким образом:

    Ответ:

    Пример 5

    Вычислить площадь шарового пояса ,

    Решение: используем формулу:

    Ответ:

    3)
    Фигуру можно вращать 2-мя способами.
    – вокруг оси абсцисс;
    – вокруг оси ординат

    Пример 1

    Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси .

    Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , , при этом не забываем, что уравнение задаёт ось

    Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

    В формуле перед интегралом обязательно присутствует число . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.

    Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.

    Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

    В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат: , таким образом интеграл всегда неотрицателен, что весьма логично.

    Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

    Как я уже отмечал, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.

    Ответ:

    Пример 2

    Дана плоская фигура, ограниченная линиями , , .

    1) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси .

    Выполним чертёж:

     

    Итак, фигура, заштрихованная синим цветом, вращается вокруг оси . В результате получается «зависшая бабочка», которая вертится вокруг своей оси.

    Для нахождения объема тела вращения будем интегрировать по оси . Сначала нужно перейти к обратным функциям. Это уже сделано и подробно расписано в предыдущем пункте.

    Теперь снова наклоняем голову вправо и изучаем нашу фигуру. Очевидно, что объем тела вращения, следует найти как разность объемов.

    Вращаем фигуру, обведенную красным цветом, вокруг оси , в результате получается усеченный конус. Обозначим этот объем через .

    Вращаем фигуру, обведенную зеленым цветом, вокруг оси и обозначаем через объем полученного тела вращения.

    Объем нашей бабочки равен разности объемов .

    Используем формулу для нахождения объема тела вращения:

    В чем отличие от формулы предыдущего параграфа? Только в букве.

    А вот и преимущество интегрирования, о котором я недавно говорил, гораздо легче найти , чем предварительно возводить подынтегральную функцию в 4-ую степень.

    Ответ:


    Пример 3

    Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми и .

    Решение: Выполним чертеж:

    Попутно знакомимся с графиками некоторых других функций. Такой вот интересный график чётной функции ….

    Для цели нахождения объема тела вращения достаточно использовать правую половину фигуры, которую я заштриховал синим цветом. Обе функции являются четными, их графики симметричны относительно оси , симметрична и наша фигура. Таким образом, заштрихованная правая часть, вращаясь вокруг оси , непременно совпадёт с левой нештрихованной частью.

    Перейдем к обратным функциям, то есть, выразим «иксы» через «игреки»:

    Обратите внимание, что правой ветке параболы соответствует обратная функция . Левой неиспользуемой ветке параболы соответствует обратная функция . В таких случаях нередко возникают сомнения, какую же функцию выбрать? Сомнения легко, развеиваются, возьмите любую точку правой ветки и подставьте ее координаты в функцию . Координаты подошли, значит, функция задает именно правую ветку, а не левую.

    К слову, та же история и с функций . Чайнику, не всегда бывает сразу понятно, какую обратную функцию выбрать: или . В действительности я и сам всегда страхуюсь, подставляя в найденную обратную функцию пару точек графика.

    Теперь наклоняем голову вправо и замечаем следующую вещь:

    – на отрезке над осью расположен график функции ;
    – на отрезке над осью расположен график функции ;

    Логично предположить, что объем тела вращения нужно искать уже как сумму объемов тел вращений!

    Используем формулу:

    В данном случае:

    Ответ:


    Пример 4:
    : Выполним чертеж:

    Объем тела вращения:

    Ответ:


    Пример 5:
    Выполним чертеж:

    Объем тела вращения вычислим как разность объемов при помощи формулы:

    В данном случае:

    Ответ:

    <== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
    Порядок выполнения работы. 1. Ознакомьтесь с теоретическими расчетами напряженности электрического поля по лекционному материалу. | Краткие теоретические сведения




    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.