Методы экстраполяции на основе временных рядов

МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Методы экстраполяции на основе временных рядов

В эконометрическом прогнозировании используются два типа данных: пространственные данные (набор показателей экономических переменных в один и тот же момент времени) и временные ряды (серия наблюдений одной и той же случайной величины в последовательные моменты времени).

Целесообразно выделить следующие 4 типа факторов, под воздействием которых формируются значения элементов временного ряда:

1. Долговременные, формирующие общую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении анализируемого признака у(t). Обычно эта тенденция описывается с помощью математической функции . Эту функцию называют трендом.

2. Сезонные, формирующие периодически повторяющиеся в определенное время года колебания анализируемого признака. Обозначим результат действия сезонных факторов с помощью функции . Поскольку эта функция должна быть периодической (с периодами, кратными «сезонам»), в ее аналитическом выражении участвуют гармоники, периодичность которых, как правило, обусловлена содержательной сущностью задачи.

3. Циклические, формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической, демографической или астрофизической природы (волны Кондратьева, демографические «ямы», циклы солнечной активности и т.п.).

6. Случайные, не поддающиеся учету и регистрации. Их воздействие на формирование значений временного ряда как раз и обусловливает стохастическую природу элементов у_t, а, следовательно, и необходимость интерпретации у₁, у₂,..., у_n как наблюдений, произведенных над случайными величинами, соответственно, , ,..., . Будем обозначать результат воздействия случайных факторов с помощью случайных величин («остатков», «ошибок») .

Во всех случаях предполагается непременное участие случайных факторов. Выводы о том, участвуют или нет факторы данного типа в формировании значений у_t, могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи (т.е. быть априорно-экспертными по своей природе), так и на специальном статистическом анализе исследуемого временного ряда.

Следует отметить, что временные ряды качественно отличаются от простых статистических выборок. Эти отличия следующие:

- последовательные по времени уровни временных рядов являются взаимозависимыми, особенно это относится к близко расположенным наблюдениям;

- в зависимости от момента наблюдения уровни во временных рядах обладают разной информативностью: информационная ценность наблюдений убывает по мере их удаления от текущего момента времени;

- с увеличением количества уровней временного ряда точность статистических характеристик не будет увеличиваться пропорционально числу наблюдений, а при появлении новых закономерностей развития она может даже уменьшаться.

Анализ временных рядов, отражающих развитие экономических процессов, начинается с оценки данных. Уровни исследуемого показателя обязательно должны быть сопоставимы, однородны и устойчивы. Количество наблюдений в них должно быть достаточно велико. Сопоставимость предполагает формирование всех уровней по одной и той же методике, использование одинаковой единицы измерения и шага наблюдений.

Требование однородности данных предполагает отсутствие сильных изломов тенденций, а также нетипичных, аномальных наблюдений. При поиске тенденций бывает целесообразно отбросить часть прошлых данных, если они отражают уже утратившую силу закономерность прошлого развития. Наличие аномальных (резко выделяющихся) наблюдений приводит к искажению результатов. Формально она проявляется как сильный скачок (спад) с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня. Для диагностики аномальных наблюдений и их устранения существуют формальные критерии. Устойчивость характеризуется преобладанием закономерности над случайностью в изменении уровней ряда. На графиках устойчивых временных рядов визуально прослеживается закономерность, на графиках неустойчивых рядов изменения последовательных уровней представляются хаотичными, потому поиск закономерностей в формировании значений уровней таких рядов лишен смысла.

Требование полноты данных обусловливается тем, что закономерность может обнаружиться лишь при наличии минимально допустимого объема наблюдений. Если целью исследования является построение модели динамики, то число уровней ряда наблюдений должно быть не меньше 7-10.

Следующим этапом анализа экономических процессов является выявление тенденций в развитии исследуемого показателя. Наиболее важными являются тенденции среднего текущего значения и дисперсии. Первую из них можно определить из графика исходных данных, а более точно - с использованием метода Фостера-Стьюарта, метода проверки существенности разности средних, критерия Валлиса и Мура и других методов.

Наличие тенденций среднего уровня на графике становится более ясным, когда на нем отражены сглаженные значения исходных данных. Процедура сглаживания полезна также при построении некоторых математических моделей. Наиболее распространенными методами сглаживания являются методы простой скользящей средней, взвешенной скользящей средней и экспоненциального сглаживания.

Традиционными показателями, характеризующими развитие экономических процессов, были и остаются показатели роста и прироста. Для характеристики динамики изменения экономических показателей используется понятие автокорреляции, которое характеризует не только взаимозависимость уровнем одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдении, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т. п.

Устойчивость характеризуется преобладанием закономерности над случайностью в изменении уровней ряда. Устойчивость экономических процессов можно рассматривать как категорию противоположную колеблемости, и как устойчивость направленности изменений. В первом случае показатель устойчивости можно измерять как разность между единицей и относительным показателем колеблемости. В свою очередь, показатель колеблемости вычисляется как:

, где , (6.1)

где - показатель колеблемости уровней временного ряда;

- среднеквадратическое отклонение уровней временного ряда от рассчитанных по уравнению тренда (стандартное отклонение);

- среднее значение уровней временного ряда;

- фактические значения уровней временного ряда;

- значения уровней временного ряда, рассчитанные по уравнению тренда.

Следовательно, показатель устойчивости будет равен:

. (6.2)

Показатель устойчивости характеризует близость фактических уровней к тренду. Изменения показателей считаются устойчивыми, если показатель устойчивости не менее 67% (то есть показатель колеблемости не превышает 33%).

Во втором случае устойчивость характеризует уровни временного ряда как процесс их направленного изменения. С этих позиций полной устойчивостью направленного изменения уровней временного ряда следует считать такое их изменение, в процессе которого каждый следующий уровень либо выше всех предшествующих (устойчивый рост), либо ниже всех предшествующих (устойчивое снижение). Всякое нарушение строго ранжированной последовательности уровней свидетельствует о неполной устойчивости их развития. При такой интерпретации в качестве показателя устойчивости тенденции можно использовать коэффициент корреляции рангов, предложенный английским статистиком Чарльзом Эдвардом Спирменом:

, (6.3)

где n – число уровней временного ряда;

- разность рангов уровней временного ряда и порядковых номеров периодов времени.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена изменяется от -1 до 1. При хаотическом чередовании подъемов и падений исследуемого процесса его значение будет близко к нулю.

Временной ряд содержит результаты наблюдения за процессом на некотором участке времени. Этот участок называется участком наблюдения. Отрезок времени от последнего наблюдения до того момента, для которого нам необходимо получить прогноз, называется участком упреждения.

Наиболее часто для получения модели тренда используют аналитическое выравнивание, подразумевающее определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Для этого находят некую функцию от времени f(t), которая наилучшим образом соответствует общей тенденции и дает содержательное объяснение рассматриваемому процессу. Для расчета параметров функции обычно используют метод наименьших квадратов. Обычно период упреждения не превышает одной трети периода наблюдения.

Временные ряды наблюденных показателей аппроксимируют (аппроксимация - от лат. approximare, т.е. приближаться) следующими элементарными функциями: y=a+b_1*t (уравнение прямой линии); y=a+b_{1 *} t+b_2*t² (парабола 2-го порядка); y=a+b_1*t+b_1*t²+b_3*t³ (парабола 3-го порядка); y=a+b_*ln(t) (логарифмическая); y=a_*t^b (степенная); y=a_*b^t (показательная); y=a+ (гиперболическая); y=1/(a+b_*e^-t) (логистическая); y=sin t и y=cos t (тригонометрическая).

При этом предполагается либо полностью исключать полиномиальные функции, либо ограничить их максимальный порядок величиной 2-3, вследствие того, что полином с более высокой степенью может достаточно хорошо быть подогнан под временной ряд, но будет при этом давать трудно интерпретируемые прогнозы.

На основе модели тенденции временного ряда рассчитывается точечный прогноз. Интервальный прогноз может быть получен с использованием стандартной ошибки прогноза (6.4):

, (6.4)

где - величина доверительного прогнозного интервала;

y^* - расчетное значение прогнозного уровня временного ряда;

σ _у – стандартная ошибка уравнения (см. формулу 6.1).

- середина временного интервала наблюдений;

Т – момент прогноза;

n – общая величина временного интервала наблюдения.

Приведенная формула позволяет рассчитать расширяющийся доверительный интервал, указывающий на рост неопределенности с повышением горизонта прогноза.

Иногда встречаются случаи, когда более или менее обоснованно для экстраполяции можно применить несколько типов кривых. При этом рассуждения сводятся к следующему. Поскольку каждая из кривых характеризует один из альтернативных трендов, то, очевидно, что пространство между экстраполируемыми трендами представляет собой «естественную доверительную область» для прогнозируемой величины. С такими утверждениями нельзя согласиться. Прежде всего потому, что каждая из возможных линий тренда отвечает некоторой заранее принятой гипотезе развития. Пространство же между трендами не связано ни с одной из них - через него можно провести многие другие тренды. Вообще говоря, точное совпадение фактических данных и прогностических оценок, получаемых путем экстраполяции трендов, - маловероятно. Причина погрешностей заключается в следующем:

1) выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной или тем более наилучшей для экстраполяции данных в конкретных условиях;

2) оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту;

3) возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно измениться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании.

Таким образом, в основе экстраполяционных методов прогнозирования лежит предположение о том, что основные факторы и тенденции, имевшие место в прошлом, сохраняются в будущем. Сохранение этих тенденций - непременное условие успешного прогнозирования. При этом необходимо, чтобы учитывались лишь те тенденции, которые еще не устарели и до сих пор оказывают влияние на изучаемый процесс.

Многие экономические процессы имеют сезонные колебания. Влияние сезонности на экономику вполне однозначно - это аритмия производственных процессов. Для того чтобы можно было целенаправленно влиять на сезонность, необходимо уметь ее измерять и анализировать, уметь предвидеть развитие процессов, подверженных сезонным колебаниям. Решение поставленных задач сводится к выполнению следующих этапов:

1. Определение наличия во временном ряду тренда и определение его гладкости.

2. Выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний.

3. Фильтрация компонент ряда.

6. Анализ динамики сезонной волны.

5. Исследование факторов, определяющих сезонные колебания.

6. Прогнозирование тренд-сезонных процессов.

Более подробно последовательность прогнозирования сезонных колебаний представлена в параграфе 14.1.

При краткосрочном прогнозировании, а также при прогнозировании в ситуации изменения внешних условий, когда наиболее важными являются последние реализации исследуемого процесса, наиболее эффективными оказываются адаптивные методы, учитывающие неравноценность уровней временного ряда.