На дом. № 4054, 4073, 4059, 4062, 4074.

Дифференциальное уравнение

(3.1)

называется уравнением в полныx дифференциалаx, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции , т.е.

Теорема. Пусть функции

,

непрерывны в односвязной области D плоскости XOY. Выражение есть полный дифференциал только тогда, когда выполнено условие

в D. (3.2)

Пример 3.1. Решить уравнение

. (3.3)

Решение. Проверим, является ли (3.3) уравнением в полных дифференциалах:

=

=

следовательно, , т.е. (3.3) – уравнение в полных дифференциалах и , поэтому

= .

Частную производную найденной функции приравняем Q(x, y) = cos xy, что даёт

cos xy + f' = cos xy,

откуда следует:

, и .

Общий интеграл уравнения:

, .

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получатся легко интегрируемые комбинации. В частности, можно выделять полные дифференциалы, используя известные формулы:

, , и т.п.

Пример 3.2. Решить уравнение

. (3.4)

Решение. Здесь , , следовательно, (3.4) – уравнение в полных дифференциалах. Сгруппируем его члены так:

Тогда

, ,

и уравнение (3.4) можно записать в виде:

или

Следовательно,

есть общий интеграл дифференциального уравнения (3.4).

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте определение уравнения в полных дифференциалах.
2. Опишите метод решения уравнений в полных дифференциалах.
3. Опишите метод выделения интегрируемых комбинаций.