Задачи для самостоятельного решения

1. Фирма-поставщик в рекламном буклете утверждает, что средний срок безотказной работы предлагаемого изделия — 2900 ч. Для выборки из 50 изделий средний срок безотказной работы оказался равным 2720 ч при выборочном среднем квадратичном отклонении 700 ч. При 5% -м уровне значимости проверить гипотезу о том, что значение 2900 ч является математическим ожиданием.

2. Составлена случайная выборка из 64 покупателей, которые интересовались товаром А. Из них товар А купили 16 человек. Поставщик утверждает, что данный товар должен привлечь треть покупателей, а среднее квадратичное отклонение равно одному человеку. Проверить нулевую гипотезу при 5%-м уровне значимости.

3. Средний диаметр подшипников должен составлять 35 мм. Однако для выборки из 82 подшипников он составил 35, 3 мм при выборочном среднем квадратичном отклонении 0, 1мм. При 5%-м уровне значимости проверить гипотезу о том, что станок, на котором изготавливают подшипники, не требует подналадки.

4. Поставщик удобрений утверждает, что применение новой партии удобрений обеспечивает урожайность пшеницы в 60 ц/га. Удобрения внесли на площади в 37 га и получили урожай 55 ц/га при выборочном среднем квадратичном отклонении 3 ц/га. При 5% -м уровне значимости оценить справедливость утверждения поставщика.

5. Среднесуточная продажа хлеба в течение многих лет для данного магазина составляла 6 т при среднем квадратичном отклонении 0, 05 т. Сегодня магазином было продано 7 т хлеба. Можно ли при 5%-м уровне значимости предполагать, что и завтра будет продано 7 т хлеба?

6. Фирма — изготовитель женских украшений, выпустив новый товар, утверждает, что 40% покупателей купят эти украшения. В ходе 10-дневной рекламной распродажи в среднем приобрели украшения 29, 5% покупателей, выборочное среднее квадратичное отклонение составило 16, 5%. При 5%-м уровне значимости оценить утверждение изготовителя товара.

7. Поставщик двигателей утверждает, что средний срок их службы равен 800 ч. Для выборки из 17 двигателей средний срок службы оказался равным 865 ч при выборочном среднем квадратичном отклонении 120 ч. Проверить нулевую гипотезу при уровне значимости: а) 5%; б) 1%.

8. По результатам 10 замеров установлено, что среднее время обслуживания мастером клиента 15 мин.. Предполагая, что время обслуживания клиента — нормально распределенная случайная величина с дисперсией 9 мин², при уровне значимости 0, 05 установить, можно ли принять в качестве норматива (математического ожидания) для обслуживания одного клиента: а) 21 мин; б) 16 мин.

9. По паспортным данным на автомобильный двигатель, расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л при среднем квадратичном отклонении 2 л. В результате совершенствования конструкции ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проведены испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем: средний расход топлива на 100 км пробега составил 9, 2 л. Используя 5%-й уровень значимости, проверить гипотезу, утверждающую, что модернизация повлияла на расход топлива.

10. Из большой партии ананасов одного размера случайным образом отобрано 36 штук. Выборочная средняя масса одной штуки при этом оказалась равной 930 г. Используя двусторонний критерий при , проверить гипотезу, что средняя масса одного ананаса (по утверждению поставщика) составляет 1 кг, если:

а) средне квадратическое отклонение известно и составляет 200 г;

б) средне квадратическое отклонение неизвестно, а выборочное составило 250 г.

11. Срок хранения продукции, изготовленной по технологии А, составил:

Срок хранения
Число единиц продукции

а изготовленной по технологии В:

Срок хранения
Число единиц продукции

Предположив, что случайные величины X и Y распределены по нормальному закону, проверить гипотезу о равенстве дисперсий при уровне значимости 0, 1 и альтернативной гипотезе

12. Температура в холодильной камере контролируется по двум электронным термометрам. Для сравнения точности термометров их показания фиксируются одновременно. Проведено 10 замеров показаний термометров:

При уровне значимости 0, 1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий.

13. На двух станках производят одну и ту же продукцию, контролируемую по наружному диаметру изделия. Из продукции станка А было проверено 16 изделий, а из продукции станка В — 25 изделий. Выборочные оценки математических ожиданий и дисперсий контролируемых размеров составили мм при мм² и мм при мм². Проверить гипотезу о равенстве дисперсий, если .

14. Фирма поставляет радары для измерения скорости движения автомобилей. Для закупки большой партии проведены испытания приборов, изготовленных на заводе А и на заводе В. Измерения проводили на одной и той же машине и на одной и той же дороге. Определены величины отклонений между показаниями спидометра автомобиля и радара:

Завод А

Отклонение, км/ч		-0, 7	-0, 3	-0, 1	0, 5	0, 8	0, 9	1, 0	1, 2	1, 3
Число измерений

Завод В

Отклонение, км/ч		-0, 6	-0, 1	0, 4	0, 7	1, 0	1, 4
Число измерений

Полагая показания спидометра автомобиля эталоном, проверить гипотезу об одинаковой точности измерений, проводимых радарами завода А и завода В, при уровне значимости 0, 1.

15. Средний ежедневный объем продаж за I квартал текущего года для 17 торговцев района А составляет 15 тыс. руб. при «исправленном» среднем квадратичном отклонении 2, 5 тыс. руб., а для 10 торговцев района В — 13 тыс. руб. при «исправленном» среднем квадратичном отклонении 3 тыс. руб. Каждую группу можно считать случайной независимой выборкой из большой совокупности. Существенно ли различие объемов продаж в районах А и В при 5% -м уровне значимости?

16. Вусловиях задачи 15 выяснить, существенно ли при 5% -м уровне значимости превышение объема продаж в районе А по сравнению с объемом в районе В.

17. Акционерное общество (АО) выпускает печенье «Русские узоры» в пачках, на которых написано: масса нетто 200 г. Осуществлена выборка для оценки средней массы печенья в пачках, выпущенных московской и санкт-петербургской фабриками АО. Результаты выборок таковы (указана масса пачек печенья «Русские узоры»):

Московская фабрика:

201, 195, 197, 199, 202, 198, 199, 203, 195, 196, 198, 199, 194, 203, 195, 202, 197

Санкт-петербургская фабрика:

203, 207, 191, 193, 197, 201, 196, 192, 194, 195, 198, 196

Предполагая, что случайная величина массы пачки печенья распределена по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями, и считая выборки независимыми, определить:

а) средние выборочные и «исправленные» средние квадратичные отклонения массы для каждой фабрики;

б) для значимо или нет различие между средними выборочными (если это различие имеется);

в) является ли величина 200 г математическим ожиданием массы при 5%-м уровне значимости?

18. Расход сырья на единицу продукции составил: по старой технологии

Расход сырья
Число изделий

по новой технологии

Расход сырья
Число изделий

Предположив, что соответствующие случайные величины X и Y имеют нормальные распределения с математическими ожиданиями и и одинаковыми дисперсиями, проверить:

а) при уровне значимости 0, 1 гипотезу : при альтернативной : ;

б) при уровне значимости 0, 05 гипотезу : при альтернативной : .

19. Производительность каждого из агрегатов А и В составила (в кг вещества за час работы):

Можно ли считать производительность агрегатов А и В одинаковой в предположении, что обе выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей, при уровне значимости ?

20. Фирма предлагает автоматы по розливу напитков. При выборке найдена средняя величина г дозы, наливаемой в стакан автоматом № 1. По выборке найдена средняя величина г дозы, наливаемой в стакан автоматом № 2. По утверждению изготовителя, случайная величина наливаемой дозы имеет нормальный закон распределения с дисперсией, равной г². Можно ли считать отличия выборочных средних случайной ошибкой при уровне значимости ?

21. В таблице приведены результаты измерения процентного содержания крахмала в картофеле (исследовали 16 клубней различных сортов картофеля) двумя различными способами:

При уровне значимости 0, 1 можно ли считать, что крахмалистость картофеля одна и та же для обоих способов?

22. Используются два вида удобрений: I и II. Для сравнения их эффективности были попарно выбраны 20 участков равной площади так, что пару составили участки, однородные по плодородию. Десять участков были обработаны удобрением I, а десять, парных им, — удобрением II. На соответствующих парах участков получили следующий урожай:

При уровне значимости 5% проверить гипотезу о различном влиянии использования удобрения I или П.

23. Экзаменационный билет по математике содержит 10 заданий. Пусть — случайная величина числа задач, решенных абитуриентами на вступительном экзамене. Результаты сдачи экзамена по математике для 300 абитуриентов таковы:

Оценить закон распределения случайной величины X.

24. Коммерсант предполагает, что объем продаж нового вида продукции в каждой из пяти торговых точек, расположенных в различных районах, будет одинаков. Фактический объем продаж оказался разным:

Район
Фактический объем продаж

Оценить, значимы или нет различия между наблюдаемыми и ожидаемыми объемами продаж при уровне значимости 0, 01 и 0, 05.

25. Результаты взвешивания 50 случайным образом отобранных пачек чая приведены ниже (в граммах):

150, 147, 152, 148, 149, 153, 151, 150, 149, 147, 153, 151, 152, 151, 149, 152, 150, 148, 152, 150, 152, 151, 148, 151, 152, 150, 151, 149, 148, 149, 150, 150, 151, 149, 151, 150, 151, 150, 149, 148, 147, 153, 147, 152, 150, 151, 149, 150, 151, 153.

Оценить закон распределения случайной величины X — массы пачки чая — для уровня значимости .

26. Страховая компания выпустила четыре вида страховых полисов в предположении, что спрос на них будет одинаков. Фактические объемы реализации различных видов страховых полисов приведены ниже:

Оценить для уровней значимости и , согласуется ли фактический и теоретический спрос на различные виды страховых полисов.

27. Результаты исследования числа покупателей в универсаме в зависимости от времени работы приведены ниже:

Можно ли утверждать при уровне значимости , что случайная величина X — число покупателей — подчинена нормальному закону?

28. Дано следующее распределение успеваемости 125 студентов, сдавших три экзамена:

Проверить гипотезу о биномиальном распределении числа сданных экзаменов при .

29. Масса (в граммах) произвольно выбранных 30 пачек полуфабриката «Геркулес» такова:

503, 509, 495, 493, 489, 485, 507, 511, 487, 495, 506, 504, 507, 511, 499, 491, 494, 518, 506, 515, 487, 509, 507, 488, 495, 490, 498, 497, 492, 495.

Можно ли при уровне значимости утверждать, что случайная величина X — масса пачки — подчинена нормальному закону распределения?

30. При принятии на работу фирма предлагает 4 теста. Результаты решения этих тестов десятью претендентами приведены ниже:

Проверить гипотезу о биномиальном распределении случайной величины X — числа успешно решенных тестов — при