Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Тема 3. Формула полной вероятности и формула Байеса
Иногда о ситуации, в которой проводится опыт можно высказать некоторые предположения, при которых опыт протекает уже более просто. Такого рода предположения называются гипотезами. Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и теоремы умножения – являются формула полной вероятности и формула Байеса. Теорема. Пусть на заданном вероятностном пространстве определена полная группа несовместных событий , , …, и событие может появиться с одним из данных событий. Вероятности , , заданы, условные вероятности также заданы для всех . Тогда справедлива формула полной вероятности . События , , …, называются гипотезами.
Пример 1. В цехе три группы станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно. Известно, что станки первой группы дают 3% брака, второй группы – 5 %, третьей – 4%. Все произведенные в цехе детали сложены на складе. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной, если станков первой группы 5 штук, второй – четыре, третьей – три. Решение. Обозначим событие – деталь бракованная. Рассмотрим три гипотезы: – деталь первой группы, - деталь второй группы, – деталь третьей группы. Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле
.
Что означает каждая вероятность? – вероятность того, что взятая деталь оказалась сделанной станками 1 группы, – вероятность того, что взятая деталь оказалась сделанной станками 2 группы, – вероятность того, что взятая деталь оказалась сделанной станками 3 группы. Всего станков . Тогда
, , .
– вероятность того, что взятая деталь оказалась бракованной, при условии, что она сделана станками 1-ой группы; . Аналогично , .
Имеем . Пример 2. Имеется две урны. В первой лежат 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 2 черных. Наудачу выбирается урна и из нее вынимается шар. Какова вероятность того, что этот шар белый? Решение. Обозначим через событие «вынут белый шар». - выбрана первая урна, - выбрана вторая урна. Тогда поскольку эти события равновозможны. Найдем условные вероятности. Вероятность того, что вынут белый шар при условии, что выбрана первая урна, равна . Вероятность того, что вынут белый шар при условии, что выбрана вторая урна, равна . Тогда по формуле полной вероятности получаем вероятность события .
Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез , принятых до опыта и называемых априорными («a priori» - доопытные) по результатам уже проведенного опыта, т.е. найти условные вероятности , которые называются апостериорными («a posteriori» - послеопытные). Формула Байеса позволяет находить вероятности гипотез при условии, что произошло событие . Теорема. Пусть на заданном вероятностном пространстве определена полная группа несовместных событий , , …, и событие может появиться с одним из данных событий. Вероятности , , заданы, условные вероятности также заданы для всех . Тогда справедлива формула . Пример 3. В урне лежит шар: либо белый, либо черный. В урну кладут белый шар. Затем вынимают из урны шар. Этот шар оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар. Решение. Введем обозначения - в урне лежал белый шар, - в урне лежал черный шар, - из урны достали белый шар. Белый шар в урне после того, как из нее вынули белый шар, может остаться только в том случае, когда там изначально лежал белый шар. Т.е. необходимо найти вероятность . Вероятности событий и равны . Условные вероятности , . Тогда .
Пример 4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. Решение. Введем обозначения – деталь отличного качества, – деталь произведена первым автоматом, – деталь произведена вторым автоматом. Вопрос задачи сводится к нахождению вероятности . Используем формулу Байеса . – вероятность того, что деталь произведена первым автоматом. , так как производительность 1-го автомата в 2 раза больше производительности второго; . – вероятность того, что деталь хорошего качества, при условии, что ее сделал первый автомат Аналогично . По формуле Байеса .
|