Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой (рис

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой (рис. 12).

Решение. Найдем стационарные точки.

Решая систему

находим стационарную точку . Эта точка лежит внутри области. Вычислим значение функции в этой точке.

Граница заданной области состоит из отрезка О А оси Ох, отрезка ОВ оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значение функции на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА а . При функция есть функция одной независимой переменной х. Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке .

; – стационарная точка. .

Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, то есть в точках О и А. .

На отрезке ОВ и . При имеем . Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции от переменной у на отрезке . ; – стационарная точка. .

Вычислим значения функции на концах отрезка ОВ, то есть в точках О и В. . Исследуем теперь отрезок АВ. Уравнение прямой АВ: . Подставив это выражение для у в заданную функцию , получим или . Определим наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке .

; – стационарная точка. .

Значения функции в точках А и В найдены ранее. Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение заданная функция в заданной замкнутой области достигает в точке , а наименьшее значение – в стационарной точке . Таким образом,

и .

Вопросы для подготовки