Давление жидкости на цилиндрические стенки

Рассмотрим (рис. 3.16) некоторую ограниченную часть твердой цилиндрической поверхности, которую назовем цилиндрической стенкой. Пусть рассматриваемая стенка находится под односторонним воздействием покоящейся жидкости, которое сводится к тому, что в каждой точке на стенку действует давление жидкости. Разобьем стенку на элементарные площадки. В силу малости площадок будем считать их плоскими и выразим элементарную силу давления на них в общем виде dP = pdw. Силы dP уже не будут направлены параллельно друг другу, их линии действия могут не пересекаться в одной точке, и их сумма может не сводиться к одной равнодействующей.

Для шаровой или круговой цилиндрической стенки элементарные силы давления, будучи нормальными к элементарным площадкам на этих поверхностях, направлены по радиусам и, следовательно, пересекутся в центре сферы или в центре круга (поперечного сечения цилиндра).

Определение сил давления на цилиндрические и шаровые поверхности имеет большое значение, так как в гидротехнических сооружениях обычно применяются конструкции с такими поверхностями (секторные, сегментные, вальцовые и шаровые затворы, водонапорные баки и т.п.).

Рис. 3.16. Схема к определению силы давления жидкости на цилиндрическую стену

Рассмотрим цилиндрические стенки, находящиеся под односторонним воздействием покоящейся жидкости. Определим силу избыточного давления. При этом условимся одну из осей координат направлять вдоль образующей цилиндрической поверхности.

Цилиндрическая поверхность с горизонтальной образующей. Направим ось OY параллельно образующей (см. рис. 3.16), а ось OZ – вертикально вверх.

Значение силы давления на цилиндрическую поверхность в данном случае определяется следующим образом:

(3.17)

где Р_х и Р_z –горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления.

Выделим на цилиндрической поверхности элементарную площад­ку d w, на которую действует направленная по нормали элементарная сила dP = rghd ω. Найдем горизонтальную dP_x и вертикальную dP_у составляющие силы dP:

.

Учитывая, что

И ,

имеем

;

,

где d w _х – проекция элементарной площадки d w на плоскость, перпендикулярную оси OX;

d ω _z – проекция элементарной площадки d w на плоскость, перпендикулярную оси OZ.

Проинтегрировав, получим для горизонтальной составляющей силы Р:

, (3.18)

где w _х – проекциявсей цилиндрической поверхности на плоскость, нормальную к оси ОХ;

– глубина центра тяжести проекции w _х под пьезометрической плоскостью.

Для вертикальной составляющей получим:

.

Интеграл представляет собой объем призмы, ограниченной снизу цилиндрической поверхностью, а сверху – ее проекцией w _z на пьезометрическую плоскость. Направляющие этой призмы – вертикальные прямые. Полученное таким образом тело называется телом давления.

Тело давления – это объемная фигура, ограниченная снизу цилиндрической поверхностью, по бокам – вертикальными плоскостями, проходящими через крайние точки цилиндрической поверхности, и сверху – горизонтальной плоскостью, совпадающей с пьезометрической.

Вертикальная составляющая P_z численно равна весу жидкости в объеме тела давления:

, (3.19)

где – объем тела давления.

На рис. 3.16 тело давления заштриховано вертикальными линиями.

Горизонтальная составляющая Р_х проходит через центр давления проекции w _х, а вертикальная составляющая Р_z проходит через центр тяжести тела давления.

Направление вертикальной составляющей Р_z для схемы, изображенной на рис. 3.16, а – вниз, а на рис. 3.16, б – вверх.

Направление линии действия силы Р определяется направляющими косинусами:

(3.20)