Обыкновенные точки, подозреваемые на перегиб.

считается непрерывно дифференцируемой в .

называется обыкновенной, если , в противном случае точка - особая.

Теорема. Если - обыкновенная точка по линии 𝜸, то прямая l, проходящая через с направляющим вектором определена однозначно.

Пусть - первая, отличная от нуля производная в точке M и - первая из производных, неколлинеарных вектору . Тогда возможны следующие случаи:

1) p – нечетное, q – нечетное. Следовательно, M – точка перегиба

2) p – нечетное,, q – четное. Следовательно, образ кривой имеет такой же вид, как окрестность обыкновенной точки.

3) p – четное, q – нечетное. Следовательно, точка M – точка возврата 1 рода.

4) p – четное, q – четное. Следовательно, точка M – точка возврата 2 рода.

Найдем вторую производную:

Достаточное условие перегиба:

Первая и вторая производные коллинеарны тогда и только тогда, когда их определитель равен нулю:

=0

t=0

t=1-эта точка не входит в область определения.

(0)=(0; 0)

p=2

(0) q=3.

Получили, что (0)=(0; 0) является точкой возврата I рода.

Таблица поведения кривой.

t	X(t)	Y(t)	k
				симметрия кривой относительно оси Ох установлена
				точка пересечения с осями Ох и Оу
+	-1	+		Вертикальная асимптота
-	-1	-		Вертикальная асимптота
y=x- при y=-x+ при	Наклонные асимптоты
				Касательная параллельная Ох
-				Касательная параллельная Ох
				Точка возврата I рода
-0, 5	0, 33	-0, 17		Точка пересечения кривой с асимптотой
0, 5	0, 33	0, 17		Точка пересечения кривой с асимптотой

12. Изображение кривой.

Параметрическое задание кривой (функции) является, вообще, говоря, менее удобным по сравнению с явным или неявным заданием, так как при этом приходится исследовать два уравнения, а не одно (у=f(x) в случае явного задания и F(x, y)=0 в случае неявного задания). Важно отметить, что необходимо исследовать систему, т.к. разрозненные в результате исследования данные, относящиеся лишь к одному из уравнений системы, особой ценности не представляют.

В ходе работы была проанализирована научная литература по изучаемой проблеме, раскрыт смысл понятия «параметрически заданная кривая», а также рассмотрены основные положения исследования кривой и построения графиков, что может послужить основой при разработке соответствующих спецкурсов для студентов ВУЗов, а также школьного курса математики.

Исследовав нашу кривую, мы нашли основные данные, представили в виде таблицы, которые являются необходимыми для построения графика.

В ходе исследования были решены все задачи и цель данной работы достигнута.