Напряженность равномерно заряженного шара.

Напряженность равномерно заряженной сферы.

Пусть по поверхности сферы равномерно распределен электрический заряд q (рис.5.9). Задача центрально-симметричная

,

поэтому в качестве поверхностей интегрирования выбираем сферы радиуса r. При этом в соответствии с (5.8) будем иметь:
внутри сферы, так как Q=0, то E_r=0,
снаружи сферы, поскольку Q=q, то E_r=q/4pr²e₀. Таким образом, получаем, формулу (5.13) и график на рис.5.11.

(5.13)

Напряженность равномерно заряженного шара.

Пусть имеется однородно заряженный шар (рис.5.12). Задача снова центрально симметричная, т.е. (E_r, 0, 0). Вне шара все аналогично сфере. Применение интегральной формы теоремы Гаусса для внешней области вполне стандартно. Покажем, что этот же результат может быть получен и с помощью дифференциальной формы этой же теоремы (5.6). В нашем случае это уравнение с учетом выражения для дивергенции в сферической системе координат имеет вид

, где

Разделяя переменные, получим

.

Константу считаем равной 0, чтобы не было расходимости при r=0. В итоге получаем формулу (5.14) и график на рис.5.13.

(5.13)

6. Потенциал электростатического поля — скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду: φ = W / q = const - энергетическая характеристика поля в данной точке. Потенциал не зависит от величины заряда, помещенного в это поле. Потенциалом электростатического поля называют саклярную физическую величину, равную отношению потенциальной энергии заряда в поле к модулю этого заряда: φ = W_п / q = const Потенциал однородного поля: φ = W_п / q = -E_xx + C
Значение потенциала в данной точке зависит от выбора нулевого уровня для отсчёта потенциала. Этот уровень выбирают произвольно. Разность потенциалов (напряжение) между двумя точками равна отношению работы поля при перемещении заряда из начальной точки в конечную к модулю этого заряда: U = φ ₁ - φ ₂ = -Δ φ = A / q, A = -(W_п2 - W_п1) = -q(φ ₂ - φ ₁) = -qΔ φ Разность потенциалов измеряется в вольтах (В = Дж / Кл)
Связь между напряжённостью электростатического поля и разностью потенциалов: E _x = Δ φ / Δ x
Напряжённость электростатического поля направлена в сторону убывания потенциала. Измеряется в вольтах, делённых на метры (В / м). Потенциал поля точечного заряда

Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадает с направлением . Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии. Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить между двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто: Теперь дадим определение эквипотенциальной поверхности. Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности

(3.6.2)

Графическое изображение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей показано на рисунке 3.4