Доказательство свойств определителей

Свойство 1°. По определению, если то тогда по формуле (1.3)

(1.8)

где – произвольная перестановка первых индексов. Число слагаемых в этом равенстве и равенстве (1.3) одинаково и равно n! (утверждение 1.1). Покажем, что они имеют одинаковые знаки. Переставим элементы в правой части равенства (1.8) так, чтобы первые индексы составили основную перестановку (1, 2,..., n). Пусть для этого потребовалось s транспозиций. При этом вторые индексы за те же s транспозиций из основной перестановки преобразуются в перестановку . Так как по утверждению 1.2 каждая транспозиция меняет знак, перестановки и будут одинаковой четности, следовательно слагаемые в формулах (1.3) и (1.8) имеют одинаковые знаки, т.е. det A = det .

Свойство 2°. Так как в каждом слагаемом в формуле (1.3) есть множитель из каждой строки, то все слагаемые равны 0 и det A тоже равен 0.

Свойство 3°. Пусть мы поменяли местами строки с номерами k и p, тогда в формуле (1.3) перестановки из вторых индексов (..., j_k,..., j_p,...) преобразуются в (..., j_p,..., j_k,...), т.е. получаются в результате транспозиции двух чисел. При этом, в соответствии с утверждением 1.2, четность каждой перестановки меняется, следовательно, меняется знак каждого слагаемого в формуле (1.3), значит, у определителя тоже меняется знак.

Свойство 4°. Пусть k -я и р -я строки матрицы А одинаковы и det A = а. Поменяем местами k -ю и р -ю строки этой матрицы. При этом матрица А не изменится, а определитель по свойству 3° изменит знак, т.е. det A = – а. Получили равенство а = – а, которое возможно лишь в том случае, когда а = 0, следовательно det A = 0.

Свойства 5°, 6°. Справедливость этих свойств следуетиз свойств конечных сумм:

Свойство 7°. Применяя к определителю матрицы

последовательно свойства 6°, 5°, 4°, получаем: det B = det A.

Свойство 8°. Рассмотрим матрицу А, у которой k -я и р -я строки одинаковы. По свойству 4° det A = 0, а по формуле (1.3) но , значит, следовательно,

Из свойства 1° следует, что все перечисленные свойства справедливы и для столбцов матрицы. В частности, справедливы формулы, аналогичные (1.6) и (1.7)

(1.9)

(1.10)