Однородная длинная линия при гармоническом внешнем воздействии

Рассмотрим волновые процессы, происходящие в однородной длинной линии.

Распределение комплексных действующих значений напряжения и тока в однородной длинной линии, находящейся под гармоническим внешним воздействием, определяется выражениями

Эти выражения получаются из выражений для и путем замены комплексной частоты р на jω.

Входящие в выражения для и коэффициент распространения

и волновое сопротивление

являются комплексными величинами и зависят от частоты и погонных параметров линии.

Представим коэффициент распространения линии в алгебраической форме записи

а волновое сопротивление линии и постоянные интегрирования в показательной форме записи

и преобразуем каждое из входящих в выражения (8.10), (8.11) слагаемых в показательную форму:

Перейдем от комплексных действующих значений напряжения и тока к мгновенным значениям:

Отсюда следует, что установившиеся значения напряжения и тока в произвольном сечении линии, находящейся под гармоническим внешним воздействием, можно представить в виде алгебраической суммы двух подобных по структуре, но отличающихся знаками перед коэффициентами α и β составляющих:

где

При фиксированном x, т.е. в любой фиксированной точке линии, каждая из составляющих тока и напряжения представляет собой гармоническую функцию времени t.

Сумма двух гармонических функций времени, имеющих одинаковую частоту, является гармонической функцией времени той же частоты. Поэтому напряжение и ток во всех сечениях линии изменяются по гармоническому закону с частотой внешнего воздействия ω. Как видно из рис.4, а, для каждого фиксированного момента времени напряжение u _пад(x, t) изменяется вдоль линии по гармоническому закону, причем амплитуда напряжения экспоненциально уменьшается с ростом x. При увеличении t точки функции u _пад(x, t), имеющие одинаковую фазу, смещаются вправо, т.к.

, т.е. с ростом координата растет.

Аналогичный вид имеют зависимости i _пад(x, t). Следовательно, u _пад(x, t) и i _пад(x, t) представляют собой волны напряжения и тока, распространяющиеся в направлении увеличения x. Эти волны называют падающими волнами напряжения и тока.

Из рассмотрения зависимостей u _отр(x, t) и i _отр(x, t) следует, что u _отр(x, t) и i _отр(x, t) представляют собой волны напряжения и тока, распространяющиеся в направлении уменьшения x, т.е. от конца линии к ее началу (рис.4, б). Эта волны называются отраженными волнами напряжения и тока.

Таким образом, мгновенное значение напряжения в любой точке линии определяется суммой падающей и отраженной волн напряжения (8.17), а мгновенное значение тока — разностью падающей и отраженной волн тока (8.18). Положительные направления u _пад и u _отр выбраны одинаково (от верхнего проводника к нижнему), поэтому напряжения u _пад и u _отр суммируются; положительные направления токов i _пад и i _отр противоположны (падающая волна тока направлена от начала линии к концу, а отраженная от конца линии к началу), поэтому ток i _отр вычитается из тока i _пад.

Рис.4. Распределение напряжения падающей (а) и отраженной (б)

волн вдоль линии (t ₃> t ₂> t ₁)

Совокупность падающей волны напряжения и падающей волны тока для краткости называют падающей волной, а совокупность отраженной волны напряжения и отраженной волны тока — отраженной волной.

Мы видим, что амплитуды напряжения и тока падающей и отраженной волн уменьшаются в направлении распространения волн. Величина α, характеризующая уменьшение амплитуды (действующего значения) падающей или отраженной волны на единицу длины линии,

называется коэффициентом ослабления. Убывание амплитуды волны связано с потерями энергии, поэтому для линии без потерь (R ₁ = 0, G ₁= 0) коэффициент ослабления α = 0, а коэффициент распространения является чисто мнимым: . Амплитуды падающей и отраженной волн напряжения и тока в линиях без потерь не зависят от координаты x и не изменяются вдоль линии.

Мнимая часть комплексного коэффициента передачи линии

характеризующая изменение фазы прямой и обратной волн на единицу длины линии, называется коэффициентом фазы. Для линии без потерь коэффициент фазы прямо пропорционален частоте:

Расстояние между двумя точками волны, фазы которых различаются на 2π, называется длиной волны в линии. Длина волны в линии λ определяется значением коэффициента фазы. Действительно, изменение фазы падающей или отраженной волны на участке линии длиной λ

откуда

Для линии без потерь .

Скорость перемещения вдоль линии точки волны, фаза колебания в которой остается неизменной, называется фазовой скоростью волны. Для падающей волны условие постоянства фазы записывается в виде

откуда фазовая скорость

Для линии без потерь фазовая скорость падающей и отраженной волн не зависит от частоты:

Используя выражения (8.21) и (8.22), получаем соотношения между фазовой скоростью и длиной волны в линии:

Из выражения (8.24) следует, что за время, равное периоду внешнего воздействия Т, падающая и отраженная волны перемещаются на расстояние, равное длине волныλ.

В связи с тем, что напряжение и ток в любом сечении линии можно рассматривать как результат наложения двух волн — падающей и отраженной, нетрудно прийти к заключению, что первое и второе слагаемые, входящие в выражения (8.10), (8.11), представляют собой комплексные действующие значения напряжения или тока падающей и отраженной волн:

где

Из выражений (8.25) и (8.26) следует, что волновое сопротивление однородной линии Z_вявляется коэффициентом пропорциональности между комплексными напряжением и током падающей или отраженной волны:

Таким образом, волновое сопротивление однородной линии можно рассматривать как комплексное сопротивление линии падающей или отраженной волнам в отдельности.

Волновое сопротивление линии без потерь имеет чисто резистивный характер:

Используя выражения (8.25), (8.26), можно установить физический смысл коэффициента γ. С этой целью найдем комплексные действующие значения напряжений падающей волны в точках, отстоящих одна от другой на расстоянии Δ х:

Определяя натуральный логарифм отношения этих величин , получаем

Аналогичным образом можно записать

Таким образом, коэффициент распространения однородной длинной линии характеризует изменение комплексного действующего значения напряжения или тока падающей и отраженной волн, приходящееся на единицу длины линии.

Представляя комплексное действующее значение напряжения падающей волны в показательной форме

и используя выражения (8.14), (8.29), устанавливаем, что коэффициент ослабления линии α численно равен натуральному логарифму отношения действующих значений напряжения падающей волны, взятых в точках, отстоящих одна от другой на единицу длины линии:

а коэффициент фазы — разности фаз напряжений, измеренных в тех же точках:

Волновое сопротивление и коэффициент распространения называются волновыми параметрами линии. В общем случае коэффициент распространения и волновое сопротивление линии для падающей и отраженной волн могут иметь различные значения, поэтому линия произвольного вида характеризуется четырьмя волновыми параметрами. У однородной линии коэффициенты распространения и волновые сопротивления для падающей и отраженной волн, соответственно, имеют одинаковые значения, поэтому однородная линия характеризуется двумя волновыми параметрами.