Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными, т. е. квадратная система

,

или в матричной форме A× х = b.

Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными можно сформулировать так:

– если определитель системы не равен нулю (D¹ 0), то система имеет единственное решение, причем ;

– если определитель системы равен нулю (D=0) и все D_i=0, , то система имеет бесчисленное множество решений;

– если определитель системы равен нулю (D=0) и найдется такое к, что D _к ¹ 0, то система является несовместной, т. е. не имеет ни одного решения.

Пример 1. Решить систему

Решение. Найдем определитель системы Так как он не равен нулю, то можем сделать вывод, что система имеет единственное решение, причем .

Вычислим вспомогательные определители:

.

Тогда

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решение.Вычислим определители системы:

.

Так как все определители , то данная система урав­нений является неопределенной. Найдем множество решений системы, придавая одной из переменных произвольные значения. Пусть , тогда выражаем переменную через х, например, из первого уравнения: . Итак, множество системы уравнений имеет вид или .

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решение. Вычислим определители системы:

.

Так как определитель системы , а вспомогательные определи­тели , то система уравнений несовместна или имеет решений

Пример 4. Найти решение системы уравнений

Решение. Вычислим определители системы:

D= = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = –25 – 10 + 5 = –30;

D₁= = (28 – 48) – (42 – 32) = –20 – 10 = –30;

D₂= = 5(28 – 48) – (16 – 56) = –100 + 40 = –60;

D₃ = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = –50 – 40 = –90.

Значит, система имеет единственное решение x ₁=D₁/D=1; x ₂=D₂/D=2; x ₃=D₃/D=3.

Векторы, основные понятия

Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается символом (или , , …).

Модулем (длиной) вектора называется расстояние от начальной точки А до конечной точки В вектора и обозначается , .

Единичным (или ортом) называется вектор , длина которого равна единице.

Нулевым (или нуль-вектором) называется вектор , длина которого равна нулю.

Коллинеарными называются векторы и , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают .

Компланарными называются три вектора и более, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Равными () называются два коллинеарных вектора и , если они одинаково направлены и имеют равные длины.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т. е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Угол между векторами измеряется в пределах . Если угол между векторами (или 90°), то векторы называются ортогональными. В случае, когда (или 0°), говорят, что вектор сонаправлен с вектором , если же (или 180°), то вектор имеет противоположное направление к вектору .