Определители, их свойства и вычисление

Квадратной матрице А порядка n можно поставить в соответствие число (det(A)), называемое ее определителем, по следующим правилам:

– если n =1, т. е. то

– если n =2, т. е. то

Пример 1. Найти определители матриц .

Решение. .

Для того чтобы обобщить методику вычисления определителей квадратных матриц, введем понятие минора и алгебраического дополнения.

Минором выбранного элемента матрицы n -го порядка называется определитель п– 1-го порядка, полученный из исходной матрицы путем вычеркивания в ней строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Например, если исходной матрицей является матрица 3-го порядка

, то а .

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется ее минор, взятый со знаком плюс, если сумма индексов выбранного элемента – четное число, и со знаком минус, если эта сумма нечетная, т. е.

Например, для матрицы 3-го порядка

Пример 2. Выписать минор М₂₂ и алгебраическое дополнение А₂₃ для заданной матрицы

Решение. Для получения минора М₂₂ исключим из матрицы вторую строку и второй столбец. Получаем М₂₂= .

Для записи алгебраического дополнения А₂₃ исключаем из данной матрицы вторую строку, третий столбец. Учтем местоположение элемента a ₂₃ с помощью коэффициента (–1)²⁺³ = (–1)⁵= –1. В результате алгебраическое дополнение А₂₃ запишется в виде А₂₃= .

Ответ: М₂₂= – 29, А₂₃= – 22.

Определитель матрицы n- го порядка при n > 2 вычисляется на основе разложения его по элементам некоторого ряда, т. е. равен сумме произведений элементов некоторого ряда заданной квадратной матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. При этом схемы разложений определителя по выбранной к -й строке или выбранному p -му столбцу будут выглядеть соответственно:

;

где a_kj и a_ip – элементы выбранного ряда;

A _kj и A _ip – алгебраические дополнения соответствующим элемен-

там выбранного ряда матрицы.

Пример 3. Вычислить определитель матрицы

Решение. .

Определители матриц обладают приведенными ниже свойствами:

1) определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы – соответствующими строками;

2) общий множитель элементов любой строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя;

3) если элементы одной строки (столбца) определителя соот­ветственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю;

4) при перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный;

5) определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столб­ца), умноженные на одно и то же число.