Производные высших порядков. Правило Лопиталя

Пусть функция в области D имеет конечную производную , которая в свою очередь также является функцией от переменной х в этой же области. Производная называется производной первого порядка. Если существует производная от производной первого порядка, то она называется производной второго порядка или второй производной от функции и обозначается или . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается или и т.д. Производные, начиная со второго порядка и выше, называются производными высших порядков.

Пример 1. Найти производную четвёртого порядка функции .

Решение. ; ; ; .

Пример 2. Вычислить значение производной третьего порядка функции при .

Решение. Найдём производную третьего порядка:

; ;

. Тогда

.

При вычислении предела отношения двух функций в точке может оказаться, что при числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, т.е. одновременно являются или бесконечно малыми, или бесконечно большими функциями. Вычисление предела в этом случае называется раскрытием неопределённости и может выполняться по правилу Лопиталя, суть которого в следующем.

Пусть функции и одновременно стремятся к нулю или к бесконечности при и в окрестности точки . Если существует предел отношения производных , то справедливо равенство . Это означает, что в случае неопределённостей вида или вычисление предела отношения функций можно заменить вычислением предела отношения их производных, что может оказаться более простым.

Если же и отношение производных приводит к одной из неопределённостей или , то и к этому отношению можно применить правило Лопиталя, т.е. исследовать предел отношения производных второго порядка и т.д.

Пример 3. Найти пределы: а) ;

б) ; в) .

Решение. а)

={найдём предел отношения производных}= =

= .

б) = ={применим правило Лопиталя}=

{ещё раз применим правило Лопиталя}=

={применим правило Лопиталя в третий раз}= =

= .

в) {применим правило Лопиталя}=

= .

Пусть и . Тогда нахождение предела приводит к неопределённости вида . В этом случае разность можно представить в виде

и . В результате получаем неопределённость вида , которую можно раскрыть с помощью правила Лопиталя.

Пример 4. Найти предел .

Решение. При функции и являются бесконечно большими одного и того же знака. Поэтому их разность приводит к неопределённости вида . Преобразуем выражение под знаком предела: = =

= = .

Пусть и . Тогда при вычислении предела приходим к неопределённости вида . Выражение преобразуется к виду или , что приводит к неопределённостям или , которые можно раскрывать с помощью правила Лопиталя.