Уравнения касательной и нормали к плоской кривой

Если к графику функции в точке проведена касательная, то точка называется точкой касания. Исходя из геометрического смысла производной, угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, т.е. . Тогда уравнение

является уравнением касательной к графику функции в точке .

Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Так как угловые коэффициенты касательной и нормали обратны по величине и противоположны по знаку, то уравнение

является уравнением нормали к графику функции в точке .

Пример 1. Найти угол наклона касательной, проведённой к параболе в точке касания с абсциссой .

Решение. Производная функции . Тогда значение производной в точке равно . Это означает, что . Следовательно, .

Пример 2. Написать уравнения касательной и нормали к параболе в точке с абсциссой .

Решение. Подставим в уравнение параболы и найдём . Следовательно, есть точка касания. Производная функции равна . Вычислим значение производной при : . Тогда уравнение или является уравнением касательной. Уравнением нормали будет или .