Производная функции

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная функции

Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Другими обозначениями производной могут быть .

Из определения производной следует, что производная функции в некоторой точке есть скорость её изменения в этой точке.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей, проходящей через данную точку.

Геометрический смысл производной функции состоит в том, что производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от функции пути S (t) по времени t. В этом состоит механический смысл производной.

На практике производные функций находят с помощью формул и правил. Основными формулами дифференцирования являются:

		12

Пусть функции u = u (x) и v = v (x) дифференцируемы в некотором интервале (a, b). Справедливы следующие правила:

1) производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: ;

2) производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй: ;

3) постоянный множитель можно выносить за знак производной: ;

4) производная частного двух функций, если знаменатель не равен нулю, равен дроби, знаменатель которой есть квадрат прежнего знаменателя, а числитель равен произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя: .

Пример 1.. Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение. а)

;

б)

;

в) ;

г) =

.

Пример 2. Вычислить производную функции

при .

Решение. Найдём производную:

. Тогда .

Пример 3. Вычислить производную функции при .

Решение. Найдём производную функции:

. Вычислим значение производной при : .

Пример 4. Среди функций а) ; б) ;

в) найти такие, производная которых равна 6 х.

Решение. Найдём производные: а) ;

б) ; в) . Следовательно, искомой функцией будет .

Пусть функция имеет в некоторой точке х производную , а функция имеет в соответствующей точке производную . Тогда функция является сложной и её производная находится по правилу: производная сложной функции по основному аргументу равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по основному аргументу, т.е. .

Это правило распространяется на сложные функции, которые имеют любое конечное число промежуточных аргументов.

Пример 5. Найти производные функций: а) ;

б) ; в) .

Решение. а) Введём промежуточный аргумент . Тогда , , , .

б) Функцию можно записать в виде . Введём промежуточный аргумент , тогда . По формулам для производной сложной функции имеем:

.

в) Запишем функцию в виде . Введём промежуточные аргументы и . Тогда . Так как имеем два промежуточных аргумента, то

= . Таким образом, .

Пусть функция у задана в неявном виде, т.е. в виде уравнения . Для нахождения производной от у по х нужно продифференцировать данное уравнение по х, считая при этом у функцией от х. В итоге производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример 6. Найти производную функции у, заданной в неявном виде, т.е. уравнением .

Решение. Дифференцируем данное уравнение, считая при этом у функцией от х: , ,

, ,

, , .

Если требуется найти производную произведения нескольких функций или дроби, числитель и знаменатель которой содержат произведения, то обе части выражения лучше всего вначале прологарифмировать. Такая операция называется логарифмическим дифференцированием, а производная от логарифма функции называется логарифмической производной.

Производные функций вида можно найти лишь способом логарифмического дифференцирования. Такие функции называются степенно-показательными.

Пример 7. Найти производные функций:

а) ; б) , в) .

Решение. а) Логарифмируем функцию:

. Найдём производную от обеих частей полученного выражения: ,

, ,

,

.

б) Запишем функцию в виде и обе части прологарифмируем: . Найдём производные от обеих частей выражения: , , т.е. , .

в) Функция является степенно-показательной. Поэтому перед дифференцированием её обязательно нужно прологарифмировать: . Затем продифференцируем обе части полученного выражения: т.е.

,

,

,

,

.