Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Частотный критерий устойчивости Михайлова ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Пусть дан характеристический полином замкнутой системы вида Проведя замену р на jω, получим выражение где …- вещественная функция Михайлова; …- мнимая функция Михайлова. При изменении частоты конец вектора прочертит на комплексной плоскости некоторую кривую, которая называется годографом Михайлова [1]. Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении 0< ω < ∞ вектор годографа Михайлова повернулся против часовой стрелки вокруг начала координат, нигде не обращаясь в ноль, на угол Δ φ =(π n/2), где n – порядок системы. Как видно из выражений для вещественной и мнимой функций Михайлова, для устойчивой системы на частоте ω =0 годограф Михайлова берет свое начало на вещественной положительной полуоси. При изменении частоты 0< ω < ∞ годограф Михайлова проходит n квадрантов против часовой стрелки, поочередно пересекая вещественную и мнимую оси (см. рис 3.1). Рис. 3.1. Годограф Михайлова В эти моменты, соответственно, то мнимая V(ω), то вещественная U(ω) функции Михайлова обращаются в ноль. Причем на частоте ω =0 именно мнимая функция Михайлова равна нулю V(0)=0.
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой и вещественной функций чередовались, т.е.
где
Пример 3.1. С помощью критерия Михайлова исследовать устойчивость системы, представленной на рис1.1. Решение. Характеристический полином данной системы имеет вид Проведем замену р на jω Выделем вещественную и мнимую функции Михайлова: . Для нахождения корней вещественной функции Михайлова приравняем ее к нулю . Решая это уравнение, получим следующее значение ω в=31.62 с-1. Для нахождения корней мнимой функции Михайлова приравняем ее к нулю: . Решая это уравнение, получим следующие значения ω м1=0 с-1, ω м2=10.45 с-1. Полученные частоты расставим в порядке возрастания: 0< 10.45< 31.62, то есть ω м1< ω м2< ω в. Таким образом, данная система является неустойчивой, так как корни вещественной и мнимой функций Михайлова не чередуются.
Пример 3.2. С помощью критерия Михайлова исследовать устойчивость системы, если характеристический полином имеет вид Решение. Проведем замену р на jω Выделим вещественную и мнимую функции Михайлова: . Для нахождения корней вещественной функции Михайлова приравняем ее к нулю Решая это уравнение, получим следующие значения ω в1=1.41 с-1, ω в2=9.9 с-1. Для нахождения корней мнимой функции Михайлова приравняем ее к нулю: . Решая это уравнение, получим следующие значения ω м1=0 с-1, ω м2=3.2 с-1, ω м3=18 с-1. Полученные частоты расставим в порядке возрастания: 0< 1.4< 3.2< 9.9< 18, то есть ω м1< ω в1< ω м2< ω в2< ω м3. Таким образом, данная система является устойчивой, так как корни вещественной и мнимой функций Михайлова чередуются.
|