Определение области изменения параметров линейной стационарной системы.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Определение области изменения параметров линейной стационарной системы.

Определение диапазонов изменения параметров, при которых гарантированно имеет место устойчивость системы, может быть осуществлено на основании критерия Гурвица [1-5].

Критерий Гурвица позволяет провести анализ по коэффициентам характеристического полинома замкнутой системы D(p). Рассмотрим данный критерий.

Пусть линейная стационарная система задана передаточной функцией

Характеристический полином системы представляет собой полином, стоящий в знаменателе передаточной функции:

По его коэффициентам составляется матрица Гурвица размерности nxn:

Порядок составления матрицы Н:

1) по главной диагонали выписываются коэффициеты полинома D(p) в порядке возрастания индексов, начиная с а₁;

2) каждая строка заполняется коэффициентами полинома D(p) таким образом, чтобы индексы слева направо возрастали, и чтобы строки с четными и нечетными индексами чередовались. Вместо коэффициентов с индексами, меньшеми нуля и большими n выписываются нули.

Определителями Гурвица i=1, …, n называются главные диагональные миноры матрицы Гурвица.

где обозначение подразумевает определитель матрицы.

Формулировка критерия: Для того, чтобы линейная стационарная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при a₀> 0 все определители Гурвица были строго положительными: i=1, …, n.

Частные случаи критерия:

1) для асимтотической устойчивости системы первого порядка (n=1) необходимо и достаточно: a₀> 0, a₁> 0;

2) для асимтотической устойчивости системы второго порядка (n=2) необходимо и достаточно: a₀> 0, a₁> 0, a₂> 0;

3) для асимтотической устойчивости системы третьего порядка (n=3) необходимо и достаточно: a_i> 0, i=0, …, 3; a₁a₂> 0 a₀a₃;

4) при n=4 необходимо и достаточно: a_i> 0, i=0, …, 4; a₁a₂> a₀a₃;
a₃(a₁a₂-a₀a₃)> a₁²a₄;

5) при n=5 необходимо и достаточно: a_i> 0, i=0, …, 5; a₁a₂> a₀a₃;
(a₁a₂-a₀a₃)(a₃a₄-a₂a₅)> (a₁a₄-a₀a₅)².

Пример 1.1. Определить методом Гурвица является ли устойчивой система, заданная структурной схемой на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Структурная схема замкнутой САУ

Решение. Свернем контур регулирования и выпишем передаточную функцию замкнутой системы в виде.

Очевидно, что данная система является системой третьего порядка и ее характеристический полином В общем виде этот полином записывается следующим образом откуда

Необходимое и достаточное условие асимтотической устойчивости при n=3: a_i> 0, i=0, …, 3; a₁a₂> a₀a₃. Для данной системы все коэффициенты a_i> 0, но указанное неравенство не выполняется. Следовательно, система неустойчива.

Пример 1.2. С помощью критерия Гурвица определить предельное значение коэффициента усиления k для системы, заданной структурной схемой рис. 1.2.

Рис. 1.2. Структурная схема САУ

Свернув структуру, запишем передаточную функцию замкнутой системы

Критерий Гурвица устанавливает устойчивость системы по коэффициентам характеристического полинома D(р), то есть по знаменателю передаточной функции. Для данной системы Общий вид характеристического уравнения при n=3 Критерий Гурвица для n=3 (частный случай) требует для асимптотической устойчивости линейной стационарной системы выполнения неравенства (при a₀> 0) a₁a₂> a₀a₃.

Для данной системы Следовательно

Вывод: Замкнутая САУ устойчива при k< 0.0125.