Частотный критерий устойчивости Найквиста в логарифмической форме.

Данный критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике или по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Рассмотрим критерий в логарифмической форме. Пусть система замкнута единичной обратной связью (см. рис. 2.1).

Рис.2.1. Структурная схема САУ

Формулировка критерия устойчивости. Если характеристическое уравнение для разомкнутой системы Q(p)=0 имеет m корней с неотрицательными (в том числе и нулевыми) вещественными частями, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числом пересечений логарифмической фазовой характеристикой (ЛФХ) разомкнутой системы уровня (-π) снизу вверх (N₊) во всех областях, где логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) положительна, и числом пересечений сверху вниз (N_-) равнялось m/2, т.е.

N₊-N_-=m/2

В частности, если система в разомкнутом состоянии устойчива, то она не имеет корней с неотрицательными вещественными частями (m=0). Следовательно, количество переходов ЛФХ через уровень (-π) снизу вверх (N₊) и сверху вниз (N_-) должно быть одинаково во всех областях, где ЛАХ положительна: N₊= N_- при L(ω)> 0. Если логарифмическая частотная характеристика (ЛЧХ) устойчивой разомкнутой системы имеет монотонный характер, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на частоте среза ω _с (т.е. при L(ω _с)=0) ЛФХ разомкнутой САУ располагалась выше уровня –π.

Пример 2.1. С помощью критерия Найквиста в логарифмической форме исследовать устойчивость системы, представленной на рис1.1.

Решение.

Передаточная функция разомкнутой САУ, рассмотренной в примере 1.1., имеет вид

Построим ЛЧХ этой системы с помощью методики построения асимптотических ЛЧХ [6] по данной передаточной функции.

В общем виде рассматриваемая система имеет передаточную функцию.

1) Сопрягающие частоты: ; частота среза интегратора ω _и=k=100с^-1.

2) Поскольку передаточная функция содержит интегрирующее звено, то построение результирующей ЛАХ начинается с прямой, имеющей наклон «-1» и пересекающей частотную ось на частоте ω _и=100с^-1.

3) Построенная в пункте 2 прямая претерпевает изломы на сопрягающих частотах:

- при на «-2» вниз;

- при на «+1» вверх.

Окончательный вид ЛАХ разомкнутой системы представлен на рис 2.2, а.

Рис 2.2. ЛЧХ разомкнутой системы

4) Частотная фазовая характеристика разомкнутой системы получается сложением фазовых характеристик сомножителей: и представлена на рис. 2.2, б.

Как видно из графиков ЛЧХ в области положительной ЛАХ имеет место единственное пересечение ЛФХ с уровнем (-π), т.е. N_- =1; N₊=0. Поскольку система имеет один неотрицательный корень λ ₁ =0, то m=1. Отсюда N₊-N_-≠ m/2. Следовательно, замкнутая система неустойчива.

Пример 2. 2

С помощью критерия Найквиста в логарифмической форме определить устойчивость замкнутой системы, представленной на структурной схеме рис. 2.3 с помощью компьютерного моделирования.

Рис 2.3. Структурная схема САУ

Передаточная функция разомкнутой системы

Характеристическое уравнение разомкнутой системы

имеет три корня:

Поскольку один из корней имеет неотрицательную вещественную часть , то в формуле критерия m=1.

ЛЧХ разомкнутой САУ могут быть построены как вручную по правилам построения асимптотических ЛЧХ [6], так и с помощью компьютерного моделирования. На рис. 2.4. представлены ЛЧХ, полученные с помощью программной системы SIMULINK [14].

Рис. 2.4. ЛЧХ разомкнутой системы

Как видно из графиков, в области, где ЛАХ положительна (L(ω)> 0) имеет место одно пересечение ЛФХ уровня –π, сверху вниз. Следовательно, N_- =1; N₊=0 и замкнутая САУ неустойчива, т.к. N₊-N_-≠ m/2=1/2.

На рис. 2.5. представлен график переходного процесса, подтверждающий данный вывод.

Рис. 2.5. Переходный процесс замкнутой системы.