Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Пусть подынтегральное выражение есть рациональная дробь где и - полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Не умаляя общности, можем считать, что k < n, так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде P(x) = Q(x)R(x) + S(x) где R(x)и S(x) -полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n. Тогда

, (1.1)

а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем. Покажем на примере, как можно получить разложение (1.1). Пусть
P(x) = x⁷ + 3x⁶ + 3x⁵ – 3x₃ + 4x₂ + x -2, Q(x) = x + 3x² + x-2. Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа (решение получаем через калькулятор деления столбиком).
Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q) R(x) = x⁴ + 2x²– 4x + 7 и остаток S(x) = 9x² – 14x +12 от этого деления.
По основной теореме алгебры [6] любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде , где – корни полинома Q(x) повторенные столько раз, какова их кратность.
Пусть полином Q(x) имеет n различных корней . Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде , где - числа подлежащие определению. Если - корень кратности α, то ему в разложении на простейшие дроби соответствует α слагаемых . Если x_j- комплексный корень кратности полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число - тоже корень кратности α этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, объединяют и записывают одним слагаемым вида , если – корни кратности один. Если – корни кратности , то им соответствует слагаемых и соответствующее разложение имеет вид

.

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, из которых являются табличными, может быть найден по рекуррентной формуле , которая получается интегрированием по частям. Интегралы , в случае, когда знаменатель имеет комплексные корни (дискриминант ), сводятся, с помощью выделения полного квадрата, к интегралам , заменой .
Одним из способов нахождения коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях ), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов.

25. Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида , где - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой .

Интегралы вида вычисляются заменой или .

Интегралы вида вычисляются заменой или . Интегралы вида вычисляются заменой или .

26. Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида , где - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой .

Интегралы вида вычисляются заменой или .

Интегралы вида вычисляются заменой или . Интегралы вида вычисляются заменой или .

27. Определение определённого интеграла. Определённым интегралом от непрерывной функции f (x) на конечном отрезке [ a, b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке

Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция y = f (x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками [ x ₀, x ₁], [ x ₁, x ₂], …, [ x_i -1, x_i ], …, [ x_n -1, x_n ]; длину i -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [ x_i -1, x_i ] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка[ a, b ] на части [ x_i -1, x_i ], ни от выбора точек , то функция f (x) называется интегрируемой по отрезку [ a, b ], а этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается .
Функция f (x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Кратко определение иногда записывают так: .
В этом определении предполагается, что b > a. Для других случаев примем, тоже по определению:
Если b=a, то ; если b < a, то .

28. Свойства определённого интеграла

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Пусть F (x) – первообразная для f (x). Для f (t) первообразной служит та же функция F (t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы последнее равенство означает равенство интегралов

и

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

то

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

·Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

Вычисление определенного интеграла.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:

где

Свойства определенного интеграла

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

1.

2.

где k - константа

3.

4.

5. если

для всех

то

6.

7.

8. если

в интервале [a, b], то

·Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле.

Замена переменной в определенном интеграле

Определенный интеграл

по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g^-1 - обратная функция к g, т.е. t = g^-1(x).

Интегрирование по частям для определенного интеграла

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

где

означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.

·Вычисление площадей фигуры в декартовой системе координат.

Если плоская фигура ограничена прямыми x=a, x=b, a< b, и кривыми

, то ее площадь вычисляется по формуле

(рис. 1).

Аналогично можно рассматривать фигуру относительно оси ОУ.

В некоторых случаях границы х=а и х=b могут вырождаться в точку пересечения кривых

В сложных случаях область следует разбить на фигуры, границы которых удовлетворяют указанным соотношениям.

При решении задач удобно придерживаться следующего порядка:

-построить в декартовых координатах фигуру, площадь которой требуется найти;

·найти точки пересечения кривых, образующих границу области для определения пределов интегрирования;

·записать формулу для вычисления и найти площадь.

·Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

·Признаки сходимости несобственных интегралов.

· Несобственные интегралы от неограниченных функций.

·Числовые ряды. Сумма ряда

36. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами.

Необходимый признак сходимости ряда

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится

Или короче: Если , то ряд расходится.

Докажем, что ряд из первого примера расходится.

Общий член ряда:

Вывод: ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

О п р е д е л е н и е. Ряды с положительными членами – это ряды, члены которых не отрицательны. Для ряда это означает

Необходимое условие сходимости ряда :

П р и м е р 1. Исследовать сходимость ряда

Р е ш е н и е. Ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости

О т в ет: ряд расходится.