Производные высших порядков

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

адание. Найти вторую производную функции

Решение. Для начала найдем первую производную:

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Ответ.

15.Признак возрастания, убывания функции.

Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.
Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х₁ и x₂ из интервала. Пусть x₁< x₂. По формуле Лагранжа существует число с∈ (х₁, x₂), такое, что

(1)

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х₁ и x₂ принадлежат I. Если f'(x)> 0 для х∈ I то f’(с)> 0, и поэтому F(x₁)< F(x₂) — это следует из формулы (1), так как x₂ — x₁> 0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)< 0 для х∈ I то f'(с)< 0, и потому f(x₁)> f (х₂) — следует из формулы (1), так как x₂—x₁> 0. Доказано убывание функции f на I.
Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).
Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)> 0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t₁ < t₂, то f (t₁)< f (t₂). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.
Замечание 1.
Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.
Замечание 2.
Для решения неравенств f' (х)> 0 и f' (х)< 0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу): точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f' сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f' в какой-нибудь точке промежутка.