Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух

и более независимых переменных. Приведем примеры:

1. Площадь S прямоугольника со сторонами x и y выражается формулой S =

xy. Каждой паре значений x и y соответствует определенное значение площади

S; S есть функция двух переменных.

2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых рав-

ны x, y и z выражается формулой V = xyz. Здесь V есть функция трех пере-

менных.

Определение. Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от

друга переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, ста-

вится в соответствие единственное значение величины z, то говорят, что z есть

функция двух независимых переменных x и y z = f(x, y).

Определение. Совокупность пар (x, y), при которой определяется функция

z = f(x, y), называется областью определения этой функции.

Примеры.

1. z = x

2y + xy2

, D(z) = {x, y: x, y ∈ (− ∞, +∞);

2. z =

p

1 − x

2 − y

2, D(z) = {x, y: 1 − x

2 − y

2 > 0} = {x, y: x

2 + y

2 6 1};

3. z = ln(x + y), D(z) = {x, y: x + y > 0}.

Рассмотрим функцию z = f(x, y), определенную в некоторой области D.

Фиксируем в этой области точки M(x, y), M1(x+∆ x, y), M2(x, y +∆ y), M3(x+

∆ x, y + ∆ y) и вычислим в них значение данной функции.

Определение. Полным приращением функции двух независимых перемен-

ных z = f(x, y) называется разность

∆ z = f(x + ∆ x, y + ∆ y) − f(x, y), (1)

а ее частными приращениями (по x и y соответственно) в той же точке –

разности

∆ xz = f(x + ∆ x, y) − f(x, y), (2)

∆ yz = f(x, y + ∆ y) − f(x, y). (3)

Введем несколько вспомогательных понятий.

4

Определение. Окрестностью точки M0(x0, y0) называется совокупность всех

точек M(x, y), удовлетворяющих неравенству

ρ (M, M0) = p

(x − x0)

2 + (y − y0)

2 < r.

Определение. Точка M называется предельной точкой множества D, если

любая ее окрестность содержит по крайней мере одну точку множества D,

отличную от M.

Пусть дана функция z = f(M), определенная на множестве D и M0 –

предельная точка множества D.

Определение. Число A называется пределом функции z = f(M) при M →

M0, если ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: ∀ M ∈ D, удовлетворяющей условию 0 < ρ (M, M0) < δ,

выполняется неравенство |f(M) − A| < ε.

Обозначение: lim

M→ M0

f(M) = A, lim x→ x0 y→ y0

f(x, y) = A.

Определение. Пусть точка M0(x0, y0) ∈ D. Функция z = f(x, y) называется

непрерывной в точке M0(x0, y0), если справедливо

lim

M→ M0

f(M) = f(M0). (4)

Если обозначить x = x0 +∆ x, y = y0 +∆ y, то равенство (4) можно переписать

так

lim

∆ x→ 0 ∆ y→ 0

f(x0 + ∆ x, y0 + ∆ y) = f(x0, y0)

или

lim

∆ x→ 0 ∆ y→ 0

f(x0 + ∆ x, y0 + ∆ y) − f(x0, y0)

= 0. (5)

Обозначим ∆ ρ =

p

(∆ x)

2 + (∆ y)

2. При ∆ x → 0 и ∆ y → 0 ∆ ρ → 0 и

обратно, если ∆ ρ → 0, то ∆ x → 0 и ∆ y → 0. Так как выражение в (5) есть

полное приращение, то равенство (5) можно записать в виде

lim

∆ ρ → 0

∆ z = 0

– необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке