Взаимодействия нейтронов 14 страница

В аэродромных маяках применяются дуговые H. л. с подогревным катодом мощностью порядка 500 вт, со световой отдачей до 10 лм/вт. Они надёжно работают при темп-ре окружающей среды от -40 до 40 ⁰C. Втрое большей световой отдачей по сравнению с красными ртутными люминесцентными лампами обладают дуговые безртутные люминесцентные H. л. Световая отдача этих ламп (ок. 25 лм/вт) определяется видимым излучением положительного столба разряда и люминесценцией покрывающего стенки ламп люминофорного слоя, напр. Y₂O₃, активированной Eu. В отличие от ртутных люминесцентных ламп, у люминесцентных H. л. световые и электрич. параметры не зависят от температуры окружающей среды.

В. В. Федоров.

НЕОНТОЛОГИЯ (от нео..., греч. On, род. падеж ontos - существо и... ло гия), комплекс биол. наук, изучающих совр. органич. мир, т. е. ныне живущие организмы, их строение и функциональные особенности, родственные связи, индивидуальное развитие, взаимоотношения с окружающей средой и между собой. Провести границу между H. и палеонтологией- наукой о вымерших животных и растениях - трудно в тех случаях, когда объектами изучения являются слабо изменённые остатки организмов из антропогеновых отложений (напр., трупы мамонтов).

HEOHЫ (Hyphessobricon), род рыб сем. харацинид отряда карпообразных. 2 вида: неон (H. innesi) и красный H. (H. cardinalis). Дл. тела самок 4-4, 5 см; самцы несколько меньше. Окраска яркая. От глаза вдоль всего тела тянется ярко-голубая светящаяся полоса. Нижняя часть тела от середины до хвостового плавника окрашена в красный цвет. Брюшко белое. У красного H. красный цвет интенсивнее и распространяется на всё брюшко. Обитают в притоках Амазонки - Укаяли и Риу-Негру (верховья). H. часто содержат в аквариумах. Илл. см. к ст. Аквариумные рыбы, т. 1, вклейка к стр. 153.

Лит.: Ильин M. H., Аквариумное рыбоводство, M., 1968; V о g е 1 Z., Akvarijni rybky, 2 vyd., Praha, 1965.

НЕОПАЛИМАЯ КУПИНА, см. Купина неопалимая.

НЕОПИЛИНЫ (Neopilina), единственный совр. род мор. моллюсков класса моноплакофор. Тело покрыто тонкостенной колпачковидной раковиной с вершиной близ переднего края; дл. раковины до 37 мм.

Глубоководный моллюск Neopilina galatheae со спинной стороны (я) и с брюшной стороны (б); / - край раковины, 2 - рот, 3 - щупальце, 4 - жабра, 5 - мантийная борозда, 6 - край мантии, 7 - анус, 8 - орган химического чувства, 9 - голова, 10 - нога.

Мышц - ретракторов тела - 8 пар. В мантийной борозде 5-6 пар перистых жабр. Глотка с радулой. Сердце - из 2 желудочков и 4 предсердий. Почек 6 пар; половых желез 2 пары. Раздельнополы; оплодотворение наружное. Питаются детритом. Известно 6 видов; найдены на глубинах 1800-6500 м в Тихом, Индийском и юго-зап. части Атлан-тич. ок.

НЕОПЛАТОНИЗМ, идеалистич. направление античной философии 3-6 вв., ставившее своей целью систематизацию разноречивых элементов философии Платона в соединении с рядом идей Аристотеля. Осн. содержание H. сводится к разработке диалектики платоновской триады -" единое", " ум" (нус), " душа". Первая онтологич. субстанция (ипостась) этой триады для заполнения разрыва между непознаваемым " единым" и познаваемым " умом" дополнялась возникшим из переработки старого пифагореизма учением о числах, к-рые трактовались как первое докачественное расчленение " единого". Вторая-" ум", представленная у Платона лишь в виде отд. намеков, разрабатывалась неоплатониками на основе учения Аристотеля о чистом космич. " уме" - перводвигателе и о его самосозерцании, в силу к-рого он выступал одновременно и субъектом, и объектом (" мышлением мышления") и содержал в себе свою собственную " умственную" материю. Учение о " душе" на основе платоновского " Тимея" и тоже под влиянием как Аристотеля, так и древнего пифагореизма доводилось в H. до учения о космич. сферах. Последнее излагалось с большими подробностями и давало картину действия " мировой души" во всём космосе. T. о., H. как идеалистич. филос. система сводится к учению об иерархии, строении бытия и к конструированию его ступеней, последовательно возникающих путем постепенного ослабления первой и высшей ступени в следующем нисходящем порядке: " единое", " ум", " душа", " космос", " материя". Для учения о внутри-космич. телах H. привлёк теории Аристотеля о субстанции и качестве, об эйдосах (формах вещей) и Энтелехиях (действенно развивающихся принципах вещей), а также о потенции и энергии. На H. оказал влияние стоицизм с его учением о тождестве мирового первоначала (огня) с внутр. Я человека, однако H. мог родиться только из решительного преодоления вульгарно-материалистич. черт стоицизма, натуралистически-пан-теистич. тенденции стоич. интерпретации наследия Платона.

Неоплатоники много внимания уделяли логич. дедукциям, определениям и классификациям, математич., астро-номич., натурфилософским и физич. построениям, а также филологич., историч. и комментаторским изысканиям. Эта особенность все бочьше развивалась по мере эволюции H., достигнув схоластич. систематики всего тогдашнего филос. и науч. знания. В целом H. явился последней и весьма интенсивной попыткой сконцентрировать всё достояние антич. философии для борьбы с христ. монотеизмом.

Основателем H. в 3 в. явился Плотин (ученик Аммония Саккаса), учение к-рого было продолжено его учениками Амелием и Порфирием. Эта римская школа H. отличалась спекулятивно-теоретич. характером и занималась по преимуществу конструированием осн. платоновской триады. Сирийская школа H. (4 в.), основанная Ямвлихом, во-первых, в систсматич. форме осмысляла антич. мифологию, а, во-вторых, большее внимание стала обращать на религ.-магич. практику, изъясняя сущность и методы пророчества, чудотворения, ведовства, оракулов, мистерий, астрологии и эк-статич. восхождения в сверхчувственный Мир. К этой школе относились также Феодор Азинский, Сопатр, Дексипп. К пергамской школе H. (4 в.), основанной Эдесием Каппадокийским, принадлежали император Юлиан и Саллюстий. В дальнейшем H. всё более занимается комментированием Платона и Аристотеля. Афинская школа H. (5-6 вв.) была основана Плутархом Афинским, продолжена Сирианом Александрийским и завершена Проклом. Крупными представителями этой школы были также Марин, Исидор, Дамаский и Симпликий. Александрийская школа H. (4-5 вв.) больше других оказалась погруженной в ком-ментаторство Платона и Аристотеля. К ней относятся: Гипатия, Синезий Кирен-ский, Гиерокл и др. Одновременно с греч. неоплатониками выступали и лат. неоплатоники (4-6 вв.): христианин Марий Викторин, противник христианства Ma-кробий и др. В 529 имп. Юстиниан запретил изучение языч. философии и распустил Академию платоновскую в Афинах, бывшую последним оплотом языч.H.

Идеи H. не погибли вместе с крушением антич. общества. Уже в конце античности H. вступает в сложное взаимодействие с христианским, а затем с мусульманским и иудейским монотеизмом. H. оказал значит, воздействие на развитие арабской философии (аль-Кинди, аль-Фа-раби, Ибн Сина).

Христ. H. в наиболее яркой форме проявился в Ареопагитиках, находящихся в очевидной зависимости от философии Прокла. В византийской философии идеи H. получили большое распространение уже в период ранней патристики (4 в.) благодаря деятельности представителей т. н. каппадокийской школы - Василия Великого, Григория Назианзи-на и Григория Нисского, ставших на путь христианизации H. Видную роль в распространении идей H. сыграл Максим Исповедник. В 11 в. идеи H. в более светской и рационалистич. форме проводил Михаил Пселл.

Под глубоким влиянием идей H. находился Августин. Нек-рые черты H. можно наблюдать и у таких ортодоксальных философов католич. церкви, как, напр., Анселъм Кентерберийский. Пан-теистич. характер неоплатонич. традиция приобретает у философов шартрской школы. От ортодоксально-католич. линии резко отличается филос. система Иоанна Скота Эриугены, к-рьщ переводил Арео-пагитики на лат. яз. и широко использовал идеи H., впадая в прямой пантеизм. В этой связи необходимо подчеркнуть, что осн. теоретич. источником пантеизма, как и неортодоксальной мистики в зап. философии средневековья, был именно H. (напр., уже у Амори Шартрского и Давида Динанского).

К концу средневековья сильное влияние H. сказалось в нем. мистике 14 - 15 вв. (Мейстер Экхарт, И. Таулер, Г. Сузо, Ян Рёйсбрук и анонимный трактат " Немецкое богословие"). Пантеистич. и рационалистические тенденции H. выявились у таких представителей философии Возрождения, как Николаи Ky-ванский, Г. Плифон и M. Фичино.

Большой шаг в сторону секуляризации H. был сделан в итал.-нем. натурфилософии эпохи Возрождения (Парацельс, Дж. Кардано, Б. Телезио, Ф. Патрици, T. Кампанелла и Дж. Бруно). О влиятельности H. в 17 - нач. 18 вв. свидетельствует школа кембриджских платоников (P. Кедворт и др.). Нем. идеализм конца 18 - нач. 19 вв. опирался на идеи H., особенно в лице Ф. В. Шеллинга, а также и Г. Гегеля, к-рый был первым историком философии, адекватно изложившим H. в своей " Истории философии" (см. Соч., т. 11, М.-Л., 1935, с. 35-76). Воздействие H. на идеализм 19-20 вв. можно проследить прежде всего у таких рус. философов, как В. С. Соловьёв, С. H. Булгаков, С. Л. Франк, П. А. Флоренский. Неоплатонич. элементы и тенденции прослеживаются и в ряде различных направлений совр. бурж. философии.

Лит.: Б рилл пантов А., Влияние восточного богословия на западное в произведениях Иоанна Скота Эригены, СПБ, 1898; Епифанов и ч С. Л., Преподобный Максим Исповедник и византийское богословие, К., 1915; Блонский П. П., Философия Плотина, M., 1918; История философии, т. 1, M., 1940; Л о с е в А. Ф., Философская проза неоплатонизма, в кн.: История греческой литературы, т. 3, M., 1960, с. 379 - 98; D u h е га Р._, La physique neopla-tonicienne au moyen-age, Louvain, 1910: Baeumker Cl., Der Platonismus im Mit-telalter, Munch., 1916; C a s s i г е г Е., Individuum und Kosmos in der Philosophic der Renaissance, Lpz.- B., 1927; H e n-r у P, Plotin et! Occident, P., 1934; Whit-taker Th., The Neo-Platonists, 2 ed., with a supplem. on the commentaries of Pro-clus, Camb., 1938; K 1 i b a n s k у R., The continuity of the Platonic tradition during the middle ages, L., 1939; Hoffman E., Platonismus und christliche Philosophic, Z.-Stuttg., 1960; Merlan Ph., From platonism to neoplatonism, 2 ed., The Hague, 1960; T h e i 1 e r W., Forschungen zum Neu-platonismus, B., 1966; Platonismus in der Phi-Iosophie des, Mittelalters, Darmstadt, 1969; Le neoplatonisme, P., 1971. См. также лит. при ст. Платонизм. А. Ф. Лосев.

НЕОПЛАЧЕННЫЙ ТРУД, см. в ст. Прибавочная стоимость.

НЕОПОЗИТИВИЗМ, одно из осн. направлений бурж. философии 20 в. H. возник и развивался как течение, претендующее на анализ и решение актуальных филос.-методологич. проблем, выдвинутых развитием совр. науки, - роли знаково-символич. средств науч. мышления, отношения теоретич. аппарата и эмпирич. базиса науки, природы и функции математизации и формализации знания и пр. Однако H. не дал и не мог дать действительного решения этих проблем ввиду несостоятельности своих исходных филос. установок. В то же время нек-рые представители H. имеют определённые заслуги в разработке совр. формальной логики, семиотики и спец. вопросов методологии науки. Являясь совр. формой позитивизма, H. разделяет исходные принципы последнего, отрицая возможность философии как теоретич. познания, рассматривающего коренные проблемы миропонимания и выполняющего в системе знания особые функции, к-рые не осуществляются специально-науч. знанием. Противопоставляя науку философии, H. считает, что единственно возможным знанием является только специально-науч. знание. Третируя классич. проблемы философии как неправомерную " метафизику", H. отрицает и постановку основного вопроса философии об отношении материи и сознания и с этих позиций претендует на преодоление " метафизического", как он утверждает, противопоставления материализма и идеализма. В действительности же H. продолжает в новых формах традиции субъективно-идеалистич. эмпиризма и феноменализма, восходящие к философии Дж. Беркли и Д. Юма. Вместе с тем H. является своеобразным этапом в эволюции позитивизма. Так, он сводит задачи философии не к суммированию или систематизации специально-науч. знания, как это делал классич. позитивизм 19 в., а к разработке методов анализа знания. В отличие от юмизма и позитивизма 19 в., ориентировавшихся в исследовании познават. процессов на психологию, H. делает предметом своего рассмотрения формы языка - науч., филос. или повседневного - и пытается осуществлять анализ знания через возможности выражения его в языке. При этом, если для предшествовавшего позитивизма в качестве " непосредственно данного", выход за пределы к-рого оценивался в качестве неправомерной " метафизики", выступала сфера чувств и переживаний субъекта, то для H. в качестве подобного предела выступают в конечном счёте не феномены сознания, а формы языка. " Метафизика" рассматривается не просто как ложное учение, а как учение в принципе невозможное и лишённое смысла с точки зрения ло-гич. норм языка, причём источники её усматриваются в дезориентирующем воздействии языка на мысль. Всё это позволяет говорить о H. как о своеобразной логико-лингвистич. форме позитивизма, в к-рой сложные и актуальные проблемы совр. логики и языкознания трактуются в духе субъективизма и конвенционализма. Свое учение о философии как об анализе языка, свободном от к.-л. " метафизики", H. считает " революцией в философии" и противопоставляет его всем остальным филос. течениям - как традиционным, так и современным.

Впервые идеи H. получили чёткое выражение в деятельности т. н. Венского кружка, на основе к-рого сложилось течение логического позитивизма. Именно здесь были сформулированы осн. идеи неопозитивистской философии науки, завоевавшие в 1930-40-х гг. значит, популярность в кругах бурж. науч. интеллигенции - сведение философии к логич. анализу языка науки, принцип верификации, предполагающий, что каждое научно осмысленное высказывание должно быть доступно эмпирич. проверке, трактовка логики и математики как формальных преобразований в языке науки и т. д. С этих позиций критич. анализу подвергалась вся классич. философия.

Эти взгляды составили основу того идейного и научно-организац. единства H., к-рое сложилось в 1930-х гг. и к к-рому, помимо логич. позитивистов, примыкал ряд амер. представителей философии науки (Ч. Моррис, П. Бридж-мен, Маргенау и др.), львовско-варшав-ской школы в логике (А. Тарский, К. Айдукевич), упсальской школы в Швеции, мюнстерской логической группы в Германии и т. д. Однако уже в 1950-е гг. достаточно ясно обнаружилось, что " революция в философии", провозглашённая H., не оправдывает надежд, возлагавшихся на неё бурж. философами. Классич. проблемы философии, преодоление и снятие к-рых обещал H., воспроизводились в новой форме в ходе его собств. эволюции. С ослаблением влияния логич. позитивизма сравнительно большой вес приобретает течение англ, аналитиков (лингвистическая философия), последователей Дж. Мура (а впоследствии и позднего Л. Витгенштейна), к-рые разделяют общую антиметафизическую направленность H., а также его эмпиризм, но не придерживаются господствующей в H. исключительной ориентации на философию науки и подвергают критике теорию верификации. Критика логич. позитивизма в 1950-60-х гг. ведётся и сторонниками т. н. логич. прагматизма в США (У. Куайн и др.), также обвиняющих логич. позитивизм в чрезмерном сужении задач философии, сведении её только к логике науки. Одновременно с развитием этих кризисных явлений внутри самого H. снижается и авторитет H. в системе бурж. философии и идеологии в целом. Уход от жизненно важных социальных и идеологич. проблем, обосновываемый концепцией деидеологиза-ции философии, чрезмерный академизм, абсолютизация логич. и языковой проблематики вызывают падение популярности H., сопровождаемое усилением влияния антипозитивистских течений в бурж. философии (экзистенциализм, философская антропология). Важную роль в развенчивании претензий H. на роль совр. философии науки сыграла критика его с позиций марксизма, осн. вклад в к-рую был внесён сов. философами. Гл. тенденция эволюции H. в этих условиях состояла в попытках либерализации своей позиции, в отказе от широковещательных программ и измельчании проблематики. Само понятие H. начиная с 1950-х годов всё больше вытесняется понятием аналитической философии. В области философии в 1960 - 1970-х гг. развивается течение, к-рое, сохраняя определённую связь с общими установками H., в то же время выступает против неопозитивистского понимания задач методологич. анализа науки (Г. Кун, И. Лакатос, П. Фейера, С. Тул-мин и др.). Сторонники этого течения, в частности, отвергают абсолютизацию методов логич. формализации, подчёркивают, в противоположность H., значение исследования истории науки для методологии науки, познават. значимость " метафизики" в развитии науки и пр. Это течение частично находится под влиянием идей К. Поппера, к-рый в ряде вопросов отходит от ортодоксального H. Все эти явления свидетельствуют о глубоком идейном кризисе совр. H., по существу не являющегося уже целостным и последовательным филос. направлением.

Лит.: H а р с к и и И. С., Современный позитивизм, M., 1961; X и л л T. И., Современные теории познания, пер. с англ., M., 1965, гл. 13 и 14; Ш в ы р е в В. С., Неопозитивизм и проблемы эмпирического обоснования науки, M., 1966; Богомолова. С., Англо-американская буржуазная философия эпохи империализма, M., 1964, гл. IX и X; Современная идеалистическая гносеология, M., 1968, раздел 1; Современная буржуазная философия, M., 1972, гл. 9; К о з л ов a M. С., Философия и язык, M., 1972; Logical positivism, ed. A. Ayer, L., 1959; The legacy of logical positivism, ed. P. Achin-stein and S. Barker, Bait., 1969; Criticism and the growth of knowledge, ed. I. Lakatos and A. Musgrave, Camb., 1970.

В. С. Швырев.

НЕОПРЕДЕЛЁННАЯ ФОРМА, понятие линейной алгебры. Квадратичную форму
[ris]

с действительными коэффициентами aij наз. H. ф-, если при действительных значениях переменных она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Линейным преобразованием переменных квадратичная H. ф. может быть приведена к виду
[ris]

где s и t для заданной H. ф. не зависят от способа её приведения к виду (*) (т. н. закон инерции квадратичных форм). H. ф. х¹ + у² + z² -C²t² играет важную роль в относительности теории. Понятие H. ф. встречается при изучении экстремумов функций многих переменных, в механике, в аналитич. геометрии.

НЕОПРЕДЕЛЁННОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, содержащее более одного неизвестного. Систему уравнений, в к-рой число неизвестных больше числа уравнений, наз. неопределённой системой уравнений. H. у. и неопределённые системы уравнений имеют, как правило, бесконечное число решений. Термин " Н. у." употребляется в теории чисел, где интересуются решениями H. у., удовлетворяющих тем или иным ариф-метич. условиям (обычно ищут решения H. у. в целых или рациональных числах). Изучение таких решений составляет предмет теории диофантовых уравнений.

НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ СООТНОШЕНИЕ, принцип неопределённости, фундаментальное положение квантовой теории, утверждающее, что любая физ. система не может находиться в состояниях, в к-рых координаты её центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определённые, точные значения. Количеств, формулировка H. с.: если [ris] x; - неопределённость значения координаты х, а [ris] p_x - неопределённость проекции импульса на ось х, то произведение этих неопределённостей должно быть по порядку величины не меньше постоянной Планка И. Аналогичные неравенства должны выполняться для любой пары т. н. канонически сопряжённых переменных, напр. для координаты у и проекции импульса р_и на ось у, координаты z и проекции импульса р_z. Если под неопределённостями координаты и импульса понимать среднеквадратичные отклонения этих физ. величин от их ср. значений, то H. с. имеют вид:
[ris]

Ввиду малости h по сравнению с макро-скопич. величинами той же размерности действия H. с. существенны в основном для явлений атомных (и меньших) масштабов и не проявляются при взаимодействиях макроскопич. тел.

Из H. с. следует, что чем точнее определена одна из входящих в неравенство величин, тем менее определённым является значение другой. Никакой эксперимент не может привести к одновременно точному измерению таких динамич. переменных; при этом неопределённость в измерениях связана не с несовершенством экспериментальной техники, а с объективными свойствами материи.

Принцип неопределённости, открытый в 1927 В. Гейзенбергом, явился важным этапом в уяснении закономерностей внутриатомных явлений и построении квантовой механики. Существенной чертой микроскопич. объектов является их корпускулярно-волновая природа (см. Корпускулярно-волновой дуализм). Состояние частицы полностью определяется волновой функцией. Частица может быть обнаружена в любой точке пространства, в к-рой волновая функция отлична от нуля. Поэтому результаты экспериментов по определению, напр, координаты, имеют вероятностный характер. Это означает, что при проведении серии одинаковых опытов над одинаковыми системами получаются каждый раз, вообще говоря, разные значения. Однако нек-рые значения будут более вероятными, чем другие, т. е. будут появляться чаще. Относительная частота появления тех или иных значений координаты пропорциональна квадрату модуля волновой функции в соответствующих точках пространства. Поэтому чаще всего будут получаться те значения координаты, к-рые лежат вблизи максимума волновой функции. Если максимум выражен чётко (волновая функция представляет собой узкий волновой пакет), то частица " в основном" находится около этого максимума. Тем не менее, нек-рый разброс в значениях координаты, нек-рая их неопределённость (порядка полуширины максимума) неизбежны. Тот же вывод относится и к измерению импульса.

T. о., понятия координаты и импульса в классич. смысле не могут быть применены к микроскопич. объектам. Пользуясь этими величинами при описании микроскопич. системы, необходимо внести в их интерпретацию квантовые поправки. Такой поправкой и является H. с.

Несколько иной смысл имеет H. с. для энергии E и времени t, [ris] Е [ris] t> h. Если система находится в стационарном состоянии (т. е. в состоянии, к-рое при отсутствии внешних сил не изменяется), то из H. с. следует, что энергию системы в этом состоянии можно измерить лишь с точностью, не превышающей h/ [ris] t, где [ris] t - длительность процесса измерения. Причина этого - во взаимодействии системы с измерит, прибором, и H. с. применительно к данному случаю означает, что энергию взаимодействия между измерит, прибором и исследуемой системой можно учесть лишь с точностью до h/ [ris] t (в предельном случае мгновенного измерения возникающий энергетич. обмен становится полностью неопределённым). Соотношение [ris] E [ris] t> = h справедливо также, если под [ris] Е понимать неопределённость значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, а под [ris] t - характерное время, в течение к-рого существенно меняются ср. значения физ. величин в этой системе.

H. с. для энергии и времени приводит к важным выводам относительно возбуждённых состояний атомов, молекул, ядер. Такие состояния нестабильны, и из H. с. вытекает, что энергии возбуждённых уровней не могут быть строго определёнными, т. е. обладают нек-рой шириной (т. н. естественная ширина уровня). Если [ris] t - ср. время жизни возбуждённого состояния, то ширина его энергетич. уровня (неопределённость энергии состояния) составляет [ris] E= h/ [ris] t. Др. примером служит альфа-распад радиоактивного ядра: энергетич. разброс [ris] Eиспускаемых [ris] -частиц связан с временем жизни [ris] такого ядра соотношением [ris] E=h/ [ris].

Лит.: Гейзенберг В., Ш р е д и нгер Э., Дирак П., Современная квантовая механика, пер. с англ., М.- Л., 1934; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., M., 1960; Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 3 изд., M, 1961; Мандельштам Л. И., T а м м И. E., Соотношение неопределенности энергия - время в нерелятивистской квантовой механике, в кн.: Мандельштам Л. И., Поли. собр. трудов, т. 2, М.- Л., 1947, с. 306; Крылов H. С., Ф о к В. А., О двух основных толкованиях соотношения неопределенности для энергии в времени, " Журнал экспериментальной и теоретической физики", 1947, т. 17, в. 2, с. 93. О. И. Завьялов.

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ в математике, выражения, предел к-рых не может быть найден путём непосредств. применения теорем о пределах. Типы H. в.:
[ris]

где е = 2, 71828...- неперово число. Указанные типы H.в. символически обозначают так: 1) 0/0, 2)oo/oo, 3)0·oo, 4)oo - oo, 5) 1°°, 6)0°, 7)oo°. Следует отметить, что данная функция может являться H. в. при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (напр., выражение (sin x)/x при x-> [ris] не является H. в.). Не всякое H. в. имеет предел; так, выражение
[ris]

при х-> 0 не стремится ни к какому пределу
[ris][ris]

не существует).

Нахождение предела H. в. (в случае, когда он существует) наз. иногда " раскрытием неопределённости", или нахождением " истинного значения" H. в. (второй термин устарел). Оно часто основывается на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся уже H. в. Иногда такая замена достигается путём алгебраич. преобразований.

Так, напр., сокращая в выражении
[ris]

числитель и знаменатель на 1- х,
[ris]

поэтому
[ris]

Для вычисления пределов H. в. типов 1) и 2) часто оказы-вается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая, что в этих случаях
[ris]

если f(x) и g(х) дифференцируемы в окрестности (конечной или бесконечно удалённой) точки x₀, за возможным исключением самой точки x₀, и второй предел существует. Пользуясь этой теоремой, находим, напр., что
[ris]

Иногда f'(x)/g'(x) - вновь является H. в. вида 1)или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении её условий) ещё раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели; напр., применение теоремы Лопиталя к H. в.
[ris]

[f(x)=е^x-е^-x, g(x)= е^x-е^-x], при ничего не даёт. Может также случиться,
[ris]

не существует, тогда как
[ris]

типа 1) или 2) всё же существует; пример:
[ris][ris]

не существует. Мощным средством нахождения пределов H. в. является разложение функций в ряды. Напр., так как
[ris][ris]

H. в. видов 3)-7) могут быть сведены к одному из видов 1) или 2). Так, напр., при x- > [ris] /2 Н. в.
[ris]

вида 4) преобразуется к виду 1):
[ris]

а последнее H. в. имеет предал 0; H. в. вида 3) приводится к H. в. вида 1) или 2) преобразованием f(x)g(x) =f(x)/h(x), или g(x)/k(x), где h(x)=1/g(x), k(x)=1/f(x)

Наконец, если через и(х) обозначить логарифм H. в. видов 5), 6) и 7): u(x)=g(x)lnf(x), то и(х) является H. в. вида 3), к-рое, как указано, сводится к H. в. вида 1) или 2). Так как {f(x)}^g(x) =е^u(x), то, найдя предел и(х) (если он существует), можно найти и предел данного H. в. Напр., для х^x при x-> 0 имеем
[ris]

и, следовательно,
[ris]

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, M., 1971; К у д р я в ц е в Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М.„ 1973.

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ, общее выражение первообразной для подынтегральной функции fix); обознача-
[ris]

Напр.,
[ris]

См. Интегральное исчисление. НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕТОД, метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид к-рых заранее известен. Так, напр., на основании теоретич. соображений дробь
[ris]

может быть представлена в виде суммы
[ris]

где А, В и С - коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:
[ris]

и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают: (A+B+C)x² +(B-C)x-A=3x²-1

T. к. последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковыми. Т.о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: А + В + С = 3, B-C=O, A = 1, откуда A=B=C = 1. Следовательно,
[ris]