Лабораторная работа №6. Вероятностный калькулятор

1.Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью:

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Задача о Гулливерах:

Представьте, что вы попали в страну, где рост взрослых мужчин приближенно имеет нормальное распределение со средним 176.6 см и стандартным отклонением 7.63 см.

Какова вероятность, что случайно выбранный вами мужчина имеет рост больше 195 см, то есть, является Гулливером?

1.1. Выбираем модуль «основные статистики»

Далее выбираем «вероятностный калькулятор»

Вводим условия задачи в соответствующие поля и производим подсчет вероятности:

Задача о лилипутах:

Представьте; что вы попали в страну, где рост взрослых мужчин приближенно имеет нормальное распределение со средним 166.6 см и стандартным отклонением 8.65 см.

Какова вероятность, что случайно выбранный вами мужчина имеет рост меньше 155 см, то есть, является лилипутом?

1.2. Меняем условия в калькуляторе в соответствии с задачей и производим вычисления:

2. t-распределение Стьюдента

Пусть Z—нормальная случайная величина, причем M(Z) = Q, σ (Z) = l, а V — независимая от Z величина, которая распределена по закону хи2 с k степенями свободы. Тогда величина имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета), с k степенями свободы.

· Постройте график плотности распределения Стьюдента с 5 степенями свободы. По уровню р=0.95 найдите значение 1.

· Постройте график плотности распределения Стьюдента с 25 степенями свободы. Сравните графически плотность распределения Стьюдента с плотностью стандартного нормального распределения.

· Сравните плотности численно, задавая разные значения р. Какой вывод - можно сделать о близости этих распределений?

2.1 В калькуляторе делаем необходимые настройки

Создаем график

2.2

График:

2.3

Вывод: значения близки

3. F-распределение

Если U и V—независимые случайные величины, распределенные по закону хи2 со степенями свободы k1 и k2, то величина имеет распределение, которое называют распределением F Фишера—Снедекора со степенями свободы k1 и k2 (иногда его обозначают через V2). Распределение F определяется двумя параметрами— числами степеней свободы.

Постройте графики распределения F-распределения с параметрами:

Число степеней свободы числителя (df1)=1, число степеней свободы знаменателя (df2)=4

Число степеней свободы числителя (df1)=10, число степеней свободы знаменателя (df2)=50

Число степеней свободы числителя (df1)=4, число степеней свободы знаменателя (df2)=100

4.1

4.2

4.3

5. Логарифмически-нормальное распределение

Если логарифм непрерывной случайной величины изменяется по нормальному закону, то случайная величина имеет логарифмически-нормальное распределение. Функция логарифмически-нормального распределения имеет вид.

Постройте графики для:

· mu=0, sigma=1;

· mu=2, sigma=1;

· mu=0, sigma=0.05;

5.1

5.2

5.3

6. Распределение Вейбула

Это распределение промежуточное между экспоненциальным и нормальным. Определяется оно двумя параметрами (при двухпараметрическом распределении): параметром масштаба а, характеризующим степень растянутости кривой распределения вдоль оси l и связанным со средним значением случайной величины Tср; параметром формы распределения b, определяющим кривую плотности.

Постройте графики распределения Вейбулла с параметрами (флажок создать график)

Параметр масштаба (scale)=10, параметр формы (shape)=0, 5

Параметр масштаба (scale)=1, параметр формы (shape)=2

Параметр масштаба (scale)=1, параметр формы (shape)=0, 8

6.1

6.2

6.3

7.Распределение Коши

Случайная величина X имеет распределение Коши, если она непрерывна, и плотность ее распределения имеет вид , . Отличительной особенностью этого распределения являются очень тяжелые хвосты; в частности, не существует ни один из моментов этого распределения, даже математическое ожидание. Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента.

Постройте графики распределения Коши с параметрами

Параметр центра (location)=0, параметр масштаба (scale)=0, 5

Параметр центра (location)=0, параметр масштаба (scale)=0, 8

Параметр центра (location)=0, параметр масштаба (scale)=1

7.1

7.2

7.3