Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Связь интегрирования с дифференцированием
|
|
Рассмотрим определенный интеграл, у которого нижний предел остается постоянным, а верхний изменяется.
Придавая верхнему пределу различные значения, будем получать различные значения интеграла; следовательно, при этих условиях интеграл является функцией своего верхнего предела
,
здесь 
- переменная интегрирования, изменяющаяся в промежутке 
.
ТЕОРЕМА 1. Производная от интеграла по его верхнему пределу равна подынтегральной функции 
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Рассмотрим непрерывную, принимающую неотрицательные значения в промежутке 
функцию 
. Зафиксируем точку 
и обозначим через 
площадь криволинейной трапеции с основанием , 
(рис. 9), тогда
.
Если переменная 
получит приращение 
, то изменится на 
(см. рис. 9). Геометрически ясно, что
,
где 
и 
- соответственно наименьшее и наибольшее значения функции 
в промежутке 
. Ведь 
- площадь прямоугольника, целиком лежащего внутри фигуры, площадь которой обозначена , а 
- площадь прямоугольника, содержащего эту фигуру. Разделим все части неравенства на приращение , тогда 
.
Так как непрерывная функция на отрезке , то она принимает в этом интервале хотя бы один раз любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями, в том числе и значение 
. Обозначим через 
точку, в которой 
, 
.
Рассмотрим предел этого выражения при условии, что 
. Тогда точка 
, а значение 
к значению функции . По свойствам пределов будем иметь:
, 
.
ЗАМЕЧАНИЕ: Эта теорема показывает, что интегрирование и дифференцирование - обратные операции.
|
|