Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Комплексная плоскость
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексным числом называют выражение вида 
, где 
и 
- действительные числа, а 
- мнимая единица, удовлетворяющая равенству 
.
Такую форму записи комплексного числа называют алгебраической формой, причем - вещественной частью, а - мнимой частью, что записывается так: 
, 
.
Комплексные числа можно изобразить на плоскости. Для этого выбирают систему декартовых координат , , после чего любое комплексное число 
отождествляется с радиус-вектором точки 
(рис. 5). Такую плоскость называют комплексной плоскостью.
Действительные (вещественные) числа являются частным случаем комплексных чисел, если в формуле положить 
. Они изображаются точками на вещественной оси, т. е. оси 
. Если у комплексного числа отсутствует действительная часть 
, то его называют чисто мнимым и изображают на мнимой оси, т.е. оси 
.
На рис.6 показаны комплексные числа 
, 
и 
.
На комплексной плоскости часто рассматривают также полярные координаты 
и 
точки . Их называют модулем и аргументом комплексного числа 
и обозначают 
, 
(рис. 5). Связь между модулем и аргументом комплексного числа и его действительной и мнимой частями устанавливается известными формулами:
, 
, 
,
, 
, 
.
Заменяя и в алгебраической форме комплексного числа , их выражениями через и , получим так называемую тригонометрическую форм у комплексного числа:
.
Модуль любого комплексного числа имеет вполне определенное значение, тогда как аргумент определен с точностью до целого числа полных оборотов. Поэтому значение полярного угла , которое удовлетворяет неравенству 
, называется главным значением а ргумента , а функция 
, где 
– общим значением аргумента.
ПРИМЕР. Найти корни уравнения 
.
Решение
Для решения квадратного уравнения с вещественными коэффициентами 
воспользуемся известной формулой
.
Уравнение имеет два комплексных корня 
и 
.
ПРИМЕР. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:
a) 
, б) 
, в) 
.
Решение
а) Найдем модуль и аргумент числа 
. Так как действительная часть комплексного числа 
, а мнимая часть 
, то
, 
.
Для определения угла следует помнить, что тангенс угла принимает положительные значения в первой и третьей четвертях. Для определения четверти можно изобразить точку 
, соответствующую числу на комплексной плоскости, и поскольку она лежит в третьей четверти, то 
. Отсюда можно записать комплексное число в тригонометрической форме 
.
б) Если 
, то 
, а 
.
Отсюда: 
в) Если 
, то 
, 
.
Отсюда: 
.
|
|