Точечный заряд и проводящая сфера

Пусть мы имеем проводящую сферу радиуса R и точечный заряд + q, расположенный на расстоянии d от центра сферы (рис. 5).

Рис. 5

Определим силу, действующую на заряд со стороны сферы. Сначала заземлим сферу. Чтобы решать задачу методом изображений, нужно найти такое расположение точечных зарядов, при котором одной из эквипотенциальных поверхностей является сфера. Задача с двумя неравными точечными зарядами как раз и дает именно такую картину эквипотенциальных поверхностей. Один из этих зарядов + q расположен там, где указано в условии задачи. Но какова должна быть величина второго заряда (заряда-изображения), и где он должен быть расположен?

Предположим, что заряд q ¢ расположен на прямой, соединяющей центр сферы и заряд q в точке, расположенной на расстоянии х от центра сферы (рис. 6).

Рис. 6

Может ли эта сфера быть эквипотенциальной поверхностью, каковы должны быть х и q ¢, чтобы она ей была? Пусть потенциал сферы равен нулю. Рассмотрим произвольную точку А сферы, ее потенциал равен нулю. Он создается зарядом q, расположенным от нее на расстоянии r ₁, и зарядом q ¢, расположенном на расстоянии r ₂. Следовательно, f _A = 0 или 0 = kq / r ₁+ kq ¢ / r ₂. То есть - q / q ¢ = r ₁/ r ₂. Для точки B сферы мы можем записать

Для точки C имеем

Таким образом имеем уравнение для определения х

Отсюда x = R ²/ d.

Если мы поместим точечный заряд q ¢ на расстоянии х от центра сферы, то сфера будет эквипотенциальной поверхностью. Величина заряда q ¢ легко определится из соотношения

Таким образом, имеем систему двух точечных зарядов, расположенных так, как на рис. 7.

Рис. 7

На заряд + q со стороны сферы (или заряда-изображения q ¢) действует сила притяжения

Mы рассмотрели случай заземленной проводящей сферы. А как быть в том случае, если сфера имеет заряд Q или несет ненулевой потенциал? Ответ на этот вопрос очень прост - в центр сферы нужно добавить еще один точечный заряд q ¢ ¢, величину которого определим из условия эквипотенциальности сферы.

Рассмотрим незаряженную металлическую изолированную сферу и заряд + q, расположенный на расстоянии d от ее центра. Какая сила действует на заряд? Cфера останется незаряженной. Произойдет лишь перераспределение зарядов по поверхности сферы, связанное с взаимодействием с зарядом + q. Ближняя к заряду часть сферы приобретет отрицательный заряд, а дальняя - положительный, так как электроны притянутся к заряду (рис. 8).

Рис. 8

Чтобы решить задачу, кроме заряда q ¢, расположенного от центра сферы на расстоянии R ²/ d, в центре сферы надо расположить еще один заряд q ¢ ¢ (рис. 9).

Рис. 9

Появление в центре сферы заряда q ¢ ¢ не меняет ее эквипотенциальности. Потенциал любой точки сферы создается теперь уже тремя зарядами - q, q ¢ и q ¢ ¢. Суммарный потенциал, создаваемый зарядами q и q ¢ на поверхности сферы равен нулю, следовательно потенциал любой точки сферы определяется только зарядом q ¢ ¢. Он равен f = kq ¢ ¢ / R. Если сфера изолирована, то заряд q ¢ ¢ определится из условия

Поля и потенциалы вне сферы определяются по принципу суперпозиции как результат наложения полей всех трех зарядов. Сила, действующая на заряд + q определится следующим образом

Если теперь вместо изолированной сферы и заряда q мы будем рассматривать тот же заряд и сферу, имеющую либо заряд Q, либо потенциал F, то, используя метод изображений, получим систему точечных зарядов: заряд q, расположенный на расстоянии d от центра сферы, заряд-изображение q ¢, расположенный на расстоянии R ²/ d от центра сферы, и заряд-изображение q ¢ ¢, расположенный в центре сферы. Величина q ¢ ¢ определится из условия, что потенциал сферы должен быть равен

Если мы знаем заряд сферы Q, то q ¢ ¢ = Q. Если же нам известен ее потенциал F, то q ¢ = R F/ k.