Точечный заряд и проводящие плоскости, образующие двугранный угол

Двугранный угол между двумя заземленными металлическими плоскостями равен a. Внутри угла на расстоянии a и b от плоскостей находится точечный заряд + q. Найти электрическое поле внутри угла. Рассмотреть случаи: а) a = 90°, б) a = 60°, в) a = 45°.

Рассмотрим случай a = 90°. В оптике есть аналогичная задача - построение изображения точечного источника в системе плоских зеркал, образующих двугранный угол a = 90°. Начнем с ее рассмотрения. Источник обозначим буквой S, плоскости зеркал OA и OB. Построим изображение источника S в зеркале OA, получим мнимый источник S ₁, расположенный на расстоянии a снизу от плоскости зеркала OA (рис. 16а), для его построения нам нужно найти точку, симметричную S относительно плоскости OA.

Рис. 16а Рис. 16б

Строя изображение точки S в зеркале OB, получим мнимый источник S ₂. Еще надо построить изображение S ₁ в зеркале OB и изображение S ₂ в зеркале OA. Эти изображения совпадут и будут находиться в точке S ₃ (мнимый источник). Для построения точки S ₃ плоскости зеркал нужно продолжить влево и вниз и найти точки, симметричные точкам S ₁ и S ₂ относительно этих плоскостей. В нашей задаче имеем три заряда-изображения, расположенные в точках S ₁, S ₂ и S ₃. В точках S ₁ и S ₂ расположены заряды - q, в точке S ₃ - заряд + q (рис. 17).

Рис. 17

Заряд и его изображения одинаковы по величине, но противоположны по знакам.

Тогда поле внутри двугранного угла определится по принципу суперпозиции как векторная сумма полей каждого из зарядов. Ее расчет достаточно стандартен и поэтому здесь мы его приводить не будем.

Рис. 18 Рис. 19

Если угол a = 60°, то имеем 5 зарядов-изображений, расположенных так, как показано на рис. 18. В случае a = 45° имеем семь зарядов-изображений (рис. 19). В геометрической оптике при решении задачи построения изображения точечного источника в ситеме плоских зеркал, угол между которыми равен a = 2p/ m, показывается, что число изображений равно m -1. Воспользовавшись этим результатом, мы легко можем решить задачу для точечного заряда и проводящих плоских поверхностях, образующих угол a.

P.S. Каждый раз, решая задачу методом изображений, мы подбирали системы точечных зарядов, которые создают точно такие же поля, как и заряды, индуцированные на поверхности проводника. Положение и величины зарядов выбираются таким образом, чтобы одна из эквипотенциальных поверхностей поля, создаваемого заданными зарядами и зарядами-изображениями, совпадала бы с поверхностью проводника. С помощью этих зарядов находится только поле вне проводника, внутри проводника поля нет. Но, несмотря на свою привлекательность, метод изображений далеко не универсален. Достаточно поместить точечный заряд снаружи двугранного угла, образованного проводящими плоскостями, чтобы задачу уже невозможно было решить этим методом (рис. 16б). Хотя система точечных зарядов, изображенная на рис 17, и обеспечивает эквипотенциальность поверхности двугранного угла, но она не дает решения задачи. Дело в том, что фиктивные заряды-изображения можно помещать только по другую от реального заряда сторону проводящей поверхности. В той точке пространства, где находится точечный заряд, напряженность поля обращается в бесконечность. Поэтому, если мы поместим фиктивный заряд по одну сторону с реальным, то в точке его нахождения напряженность поля обратится в бесконечность, чего на самом деле нет.

Литература

1. Р. Фейман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Феймановские лекции по физике, т. 5. - М., Мир, 1977, 300 с.

2. В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике - М., Наука, 1970, 504 с.

3. И. Е. Тамм, Основы теории электричества - М., Наука, 1989, 504 с.

4. Е. И. Бутиков, А. А. Быков, А. С. Кондратьев, Физика для поступающих в ВУЗы. Учебное пособие - М., Наука, 1982, 608 с.

5. Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. - М., Большая Российская энциклопедия. Т. 3. 1992, 672 с.

ant. Метод электростат. изображений

Материал из PhysBook

Перейти к: навигация, поиск

Черноуцан А.И. Метод электростатических изображений //Квант. — 1987. — № 3. — С. 39-42.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала " Квант"

В школьном курсе физики вы познакомились с явлением электростатической индукции. Вспомним, в чем оно заключается.

Поднесем точечный заряд +q к какому-либо проводнику, например к незаряженному металлическому шарику. За очень малое время свободные заряды на шарике перераспределятся так, что напряженность результирующего поля внутри него станет равной нулю. После этого движение зарядов прекратится. Поле внешнего заряда оказывается скомпенсированным полем зарядов, «появившихся» на поверхности шарика. Будем называть их наведенными зарядами.

Поле наведенных зарядов есть и вне проводника, в частности, оно действует на заряд +q — заряд притягивается к шарику, хотя полный заряд шарика равен нулю (рис. 1, а). Если бы шарик был заземлен, притяжение было бы сильнее, поскольку на шарике появился бы избыточный отрицательный заряд (рис. 1, б). Этот заряд перетек бы на проводник с земли под действием поля заряда +q[1].

а

б

Рис. 1

Как рассчитать поле наведенных зарядов? Рассмотрим пример. Пусть проводник занимает все правое полупространство (рис. 2). Тогда на его плоской границе ОО’ соберутся наведенные отрицательные заряды, которые уничтожат поле всюду в проводнике. Вычислить поле вне проводника (слева от ОО’) нам поможет тот очевидный факт, что поле наведенных зарядов симметрично относительно плоскости ОО’. Посмотрите на рисунок 2 — на нем хорошо видно, чему равно поле наведенных зарядов справа от ОО’ (в проводнике). Раз это поле компенсирует поле заряда +q, то, очевидно, оно совпадает с полем воображаемого заряда -q, помещенного в ту же точку, что и заряд +q. Теперь ясно, какое поле создают наведенные заряды слева от ОО’ (вне проводника). Оно в точности равно полю воображаемого заряда -q, но помещенного по другую сторону от плоскости ОО’, симметрично по отношению к заряду +q. Заряд -q называют изображением заряда +q.

Рис. 2

Итак, плоская поверхность проводника притягивает точечный заряд +q, удаленный от нее на растояние d, с такой же силой, с какой его притягивал бы заряд -q, удаленный на расстояние 2d:

F=kq

(2d)

.

Мы получили удивительный результат: поле, создаваемое зарядом и проводником (рис. 3, а), в пространстве вне проводника совпадает с полем всего двух точечных зарядов (рис. 3, б). Почему оказалась возможной такая подмена? Вспомним, что поверхность проводника представляет собой эквипотенциальную поверхность, причем в нашем примере потенциал проводника равен нулю. Поле же двух зарядов +q и -q обладает следующим свойством: эквипотенциальная поверхность φ = 0 совпадает с плоскостью симметрии ОО’, т. е. точно повторяет форму поверхности рассматриваемого проводника. Именно в этом скрыта причина совпадения полей, изображенных на рисунке 3, а и б. И в других случаях надо стремиться расположить заряды-изображения внутри проводника так, чтобы поверхность проводника совпала с поверхностью постоянного потенциала, равного потенциалу проводника[2].

Рис. 3

Возникает резонный вопрос — как это сделать? Как найти заряды-изображения и их положения, если известны форма и потенциал проводника? К сожалению, в общем случае такого рецепта не существует, и обычно приходится действовать, как говорят, «с конца» — от зарядов к проводнику.

Возьмем несколько точечных зарядов, рассчитаем их поле, найдем любую эквипотенциальную поверхность φ = φ 0 и заполним пространство внутри этой поверхности проводником с потенциалом φ 0. Тогда поле, которое мы уже рассчитали, представляет собой готовое решение для получившегося проводника и тех зарядов, что оказались вне его! Заряды же, которые «погибли» внутри проводника, играют роль зарядов-изображений. Таким способом можно построить много «готовых» решений, но нет гарантии, что среди них найдется проводник заранее заданной формы.

Рассмотрим пример. Возьмем какую-нибудь эквипотенциальную поверхность для тех же зарядов +q и -q, например с φ = -1 В (рис. 4, а). Поле этих двух зарядов вне этой поверхности совпадает с полем заряда +q и проводника, имеющего фиксированный потенциал φ = -1 В (рис. 4, б).

а

б

Рис. 4

Еще пример. Поле четырех зарядов +q, +q, -q и -q, размещенных в вершинах прямоугольника (рис. 5, в), имеет эквипотенциальную поверхность φ = 0 в виде двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Значит, часть этого поля, заключенная в первом квадранте, совпадает с полем заряда +q, помещенного в двухгранный угол (рис. 5, б). Три других заряда являются изображениями заряда +q. Попробуйте сами найти решение для заряда, помещенного в трехгранный угол, — для этого вам придется использовать семь дополнительных зарядов.

а б

Рис. 5

Вернемся теперь к примеру с металлическим шариком, о котором шла речь в начале статьи. Возьмем два заряда +q1 и -q2 (q1 > q2), расположенные на расстоянии l друг от друга. Оказывается, что эквипотенциальная поверхность φ = 0 представляет собой сферу (рис. 6, а)[3]. Чтобы определить радиус этой сферы R и расстояние L от ее центра до заряда +q1 можно приравнять к нулю потенциалы точек А и В (рис. 6, б):

kq

L− R

− k

q

R− (L− l)

=0

kq

L+R

− k

q

R+(L− l)

=0. (*)

а

б

Рис. 6

Поле этих двух зарядов в пространстве вне сферы в точности совпадает с полем, которое возникает, если заряд +q1 поместить на расстоянии L от центра заземленного металлического шара радиусом R (рис. 6, б). В этом случае, когда задано положение шара, нам известны R и L, а положение отрицательного заряда-изображения (l) и его величину (q2) можно найти из той же системы (*):

l=L− R

L

q

2=

q

R

L

.

Сила, с которой заряд +q1 притягивается к шару, равна

F=kq

q

l

.

А как же найти поле и силу притяжения в случае незаряженного шарика? Тогда кроме изображения -q2 надо поместить в центр сферы еще один воображаемый заряд +q2. Поле этих трех зарядов вне сферы будет совпадать с полем заряда +q1 и незаряженного шарика. Почему? Заметим, что поверхность сферы останется эквипотенциальной поверхностью и после добавления третьего заряда. Зато число силовых линий, входящих внутрь сферы, теперь точно равно числу силовых линий, из нее выходящих, — ведь полный заряд внутри сферы равен нулю. Но такому же условию удовлетворяет поле и в случае незаряженного проводника! Значит, мы нашли правильное поле. Сила притяжения заряда +q1 к шару в этом случае будет заметно меньше — ведь он не только притягивается к изображению -q2, но и отталкивается (с меньшей силой) от другого изображения +q2:

F=kq

q

l

− k

q

q

L

.

Примечания

↑ Поле вне проводника может быть определено, если известен либо полный заряд проводника (как в случае, изображенном на рисунке 1, а), либо его потенциал (как на рисунке 1, б). Первый случай соответствует изолированному проводнику, второй — проводнику, соединенному с удаленным очень большим проводником известного потенциала (например, с землей). Мы, в основном, будем рассматривать второй тип задач. Потенциал бесконечного проводника будем считать равным потенциалу на бесконечности, т. е. нулю.

↑ Тогда поле внешних зарядов и проводника будет совпадать с полем внешних зарядов и зарядов-изображений (т. е. проводник подменяется изображениями). Дело в том, что граница рассматриваемой области (пространство вне проводника) имеет в этих двух случаях одинаковый потенциал, и расположение зарядов внутри области также одно и то же (все изображения находятся в проводнике, т. е. вне этой области). Выполнения этих условий достаточно, чтобы утверждать, что поля совпадают всюду внутри области. Это утверждение часто называют принципом единственности в электростатике.

↑ Потенциал точечного заряда q имеет вид

φ =kq

r

. Условие kq

r

− k

q

r

=0 преобразуется к равенству

r

r

=

q

q

, т. е. описывает геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до заданных двух точек имеет фиксирован иое значение. Докажите сами, что это

сфера.

Источник — «https://www.physbook.ru/index.php? title=Kvant._%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82._%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9& oldid=73785»

Категории:

Журнал " Квант"

Школа в «Кванте»

Электроемкость

Персональные инструменты

Представиться / зарегистрироваться

Пространства имён

Статья

Обсуждение

Варианты

Просмотры

Читать

Просмотр

Действия

История

Поиск

Учебники

Барашков В.В. Устные ответы

Слободянюк А.И. Физика 10

Книги Горбацевича С.А.