Точечный заряд вблизи границы раздела двух диэлектриков

Пусть точечный заряд + q находится на расстоянии а от плоской границы двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков с проницаемостями e₁ и e₂(рис. 10).

Рис. 10

Определим силу, действующую на заряд, и потенциал электрического поля методом изображений.

Допустим, что заряд-изображение имеет величину q ¢ и расположен на расстоянии a снизу от поверхности М N, разделяющей диэлектрики (рис. 11), так как именно там будет находиться изображение светящейся точки q в плоском зеркале MN.

Рис. 11

Величину заряда-изображения можно найти из граничных условий для нормальной (перпендикулярной границе) и тангенциальной (параллельной границе) составляющих вектора напряженности электростатического поля. На границе раздела двух диэлектрических сред нормальная составляющая поля подчиняется условию e₁ E_{n 1} = e₂ E_{n 2}, где E_{n 1} и E_{n 2} - нормальные составляющие поля в диэлектриках с проницаемостями e₁ и e₂, соответственно. Тангенциальная составляющая поля при переходе из среды с диэлектрического проницаемостью e₁в среду с диэлектрической проницаемостью e₂ остается неизменной, то есть E _t1 = E _t2. Подробнее о граничных условиях на границе раздела двух сред поговорим в конце задачи.

Найдем нормальную и тангенциальную составляющие вектора напряженности электрического поля в точке А, расположенной на границе раздела диэлектриков,

E_{n 1} = E ₁ cos a₁, E_{n 2} = E ₂ cos a₂,

E _t1 = E ₁ sin a₁, E _t2 = E ₂ sin a₂,

где a₁ и a₂ - углы, которые составляют вектора напряженности в первой и во второй средах соответственно. Отсюда легко получить соотношение tg a₁/tg a₂ =e₁/e₂, которое потребуется нам в дальнейшем.

Если бы не было среды с проницаемостью e₂, то в точке A напряженность поля была бы равна E ₁ и ее создавал бы один заряд + q. Но поскольку вторая среда присутствует, то напряженность поля равна вектору E ₂ и составляет с перпендикуляром угол a₂. Если дело происходит в вакууме, то это возможно в случае, когда в точке B находится заряд q ¢, создающий в точке A поле, напряженность которого обозначим E ¢. Ясно, что E ¢ удовлетворяет равенству

Анализ граничных условий приводит к выводу: если e₁ > e₂, то a₁ > a₂, и в точке B должен находиться отрицательный заряд (рис. 12);

Рис. 12

если же e₁ < e₂, то a₁ < a₂ и в точку B должен быть помещен положительный заряд (рис. 13).

Рис. 13

Разберем случай e₁ > e₂. Спроецировав левую и правую части уравнения

на горизонтальное и вертикальное направления, получим

E ₁ sin a₁- E ¢ sin a₁ = E ₂ sin a₂ и E ₁ cos a₁- E ¢ cos a₁ = E ₂ cos a₂.

Используя граничные условия и поделив первое уравнение на второе, имеем

Модуль вектора напряженности поля, которое создает в точке A заряд + q определяется его величиной и расстоянием r до точки A: E ₁ = kq / r. Заряд q ¢ в точке A создает поле, модуль вектора напряженности которого E ¢ = k | q ¢ |/ r. Тогда для определения величины заряда q ¢ имеем уравнение

Отсюда определяем модуль заряда q ¢

Сила взаимодействия зарядов определяется по закону Кулона

Потенциал произвольной точки C, расстояние от которой до точки, в которой находится заряд + q, равно r ₁, а до точки В, в которой находится заряд q ¢, равно r ₂, легко определить по принципу суперпозиции полей. Если точка С находится в среде с проницаемостью e₁, то по ее потенциал q определяется равенством

если же точка C находится в диэлектрике с проницаемостью e₂, то

Случай, когда в точке B находится положительный заряд-изображение q ¢, рассчитывается аналогично; для величины q ¢ получим выражение

Если диэлектрическая проницаемость первой среды больше, чем второй, то заряд отталкивается от границы диэлектриков, при обратном соотношении - притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большей проницаемостью, отталкиваясь от границы, стремится уйти в бесконечность. Заряд, вначале находившийся в среде с меньшей проницаемостью, притягивается к границе, пересекает ее, а затем, находясь уже в другой среде отталкивается от границы, стремясь уйти в бесконечность. Естественно, все сказанное справедливо только в том случае, если можно пренебречь силой трения, действующей на заряд со стороны среды.

И в заключение этой задачи поговорим о граничных условиях на границе раздела двух сред. Начнем с рассмотрения диэлектрических сред. Пусть мы имеем плоскую границу двух однородных диэлектриков с различными проницаемостямиe₁ и e₂. Обозначим через

напряженности электрического поля в первой и во второй средах соответственно. Разложим векторы

на две составляющие - нормальную E_{n 1} и E_{n 2} и тангенциальную E _t1 и E _t2.

Рис. 14

Выясним теперь, как связаны тангенциальные составляющие поля при переходе из одной среды в другую. Выберем любые две пары точек, расположенных очень близко к друг к другу и разделенных поверхностью (рис. 14). Пара точек A ₁ и B ₁ находится в первом диэлектрике, а пара точек A ₂ и B ₂ находится во втором диэлектрике. Если тангенциальные составляющие полей в разных диэлектриках будут различными, то работы поля при перемещении какого-либо заряда вдоль линий A ₁ B ₁ и A ₂ B ₂ будут различными. Будем приближать точки A ₁ и A ₂, B ₁ и B ₂ друг к другу, в конце концов мы получим две бесконечно близких линии A ₁ B ₁ и A ₂ B ₂. Поскольку электрическое поле потенциально, то работа по перемещению заряда между какими-либо точками не зависит от траектории. У нас же получается, что работа поля по перенесению заряда по двум бесконечно близким отрезкам A ₁ B ₁ и A ₂ B ₂ различна. Следовательно наше допущение о неравенстве тангенциальных составляющих поля не верно, так как ведет к нарушению потенциальности поля.

Таким образом, на границе раздела двух диэлектриков тангенциальные составляющие поля в разных средах одинаковы или непрерывны, то есть E _t1 = E _t2.

Рис. 15

Получим граничные условия для нормальных составляющих поля. Для этого выделим на поверхности прямоугольник D S столь малый, что поля в диэлектриках с проницаемостями e₁ и e₂ на его площади не меняются. Построим на нем параллелепипед высоты 2D L (рис. 15). Величина D L должна быть достаточно малой, чтобы электрическое поле на протяжении отрезка D L оставалось постоянным. Определим поток F поля через поверхность прямоугольного параллелепипеда. Потоки через боковые грани поверхности равны нулю, так как для них углы между напряженностью поля и нормалями (перпендикулярами) к поверхности равны 90°. Таким образом остается только посчитать потоки через верхнюю и нижнюю грани параллелепипеда. Поскольку верхняя грань находится в среде с проницаемостью e₁, а нижняя - в среде с проницаемостью e₂, суммарный поток через них определится следующим образом

F = F_ниж+F_верх = e₁ E_{n 1}D S -e₂ E_{n 2}D S.

С другой стороны, по теореме Гаусса имеем F= 0, так как свободных зарядов внутри параллелепипеда нет. Следовательно, e₁ E_{n 1} = e₂ E_{n 2}.

Если мы имеем две металлические среды, то тангенциальная составляющая поля на поверхности равна нулю (если бы она не была равна нулю, то электроны бы двигались против поля, а это означает, что точки на поверхности металла имеют разные потенциалы).