Квадратурные формулы

Наиболее распространенным подходом к численному вычислению интеграла

(1)

является разбиение отрезка [ a, b ] на n равных частей а = х ₀< х ₁<... < х_n = b c шагом h = , интерполирование функции y = f (x) на отрезке [ a, b ] (получение интерполяционного многочлена  (x)) и замена в (1) интеграла интегральной суммой:

, In  I.

(2)

Соотношения вида (2) называют квадратурными формулами.

В простейших случаях в качестве интерполяционного многочлена  (x) берут ступенчатую, кусочно-линейную или кусочно-параболическую функции, а также полином степени k = n ( (x) = x^k) для которых квадратурные формулы принимают вид (см. Пример 1 Рисунка 8):

Рис. 8. Численное интегрирование и дифференцирование

Формула прямоугольников:

i = 1, 2,..., n;

(3)

формула трапеций:

;

(4)

формула Симпсона (n - четное число):

;

(5)

метод неопределенных коэффициентов состоит в вычислении определенного интеграла (1) с помощью формулы (2) коэффициенты А_i, которой находятся в результате решения следующей системы уравнений:

где , k = 0, 1,..., n.

(6)