Глобальная интерполяция

Простейшим видом глобальной интерполяции является параболическая интерполяция, когда, используя описанные выше условия (2), для отыскания неизвестных n + 1 коэффициентов а ₀, а ₁ ,..., а_n выражения (1) получают систему из n + 1 уравнений:

.

(3)

Интерполяционная формула Лагранжа:

(4)

Для построения интерполяционной формулы Лагранжа в Mathcad удобно использовать функцию if

Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблично с равноотстоящими значениями аргумента (h_i = x_i+ 1- x_i = const). Введем предварительно понятие конечных разностей:

С учетом введенных обозначений первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

(5)

Вторая интерполяционная формула имеет вид:

(6)

Однако, интерполяция при большом числе узлов приводит к необходимости работать с многочленами высокой степени (например, 50-й или даже 100-й), что неприемлемо как с точки зрения вычислений, так и из-за склонности таких многочленов к осцилляции (колебаниям) между узлами сетки. Поэтому на практике часто используют интерполяцию кусочными многочленами (или локальную интерполяцию).

Локальная интерполяция

При локальной интерполяции между различными узлами выбираются различные многочлены невысокой степени. В среде Mathcad есть для этого инструментарий: средства линейной интерполяции (функция linterp) и интерполяции сплайном (функция interp) - линейным (lspline), параболическим (pspline) и кубическим (cspline). Рисунок 4 показывает некоторые примеры локальной интерполяции.

Рис. 4. Локальная интерполяция