Унарные операции

• Абсолютное дополнение:

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество U, которое содержит A):

Относительным же дополнением называется А\В (см.выше):

• Мощность множества:

| A |

Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).

• Множество всех подмножеств (булеан):

Обозначение происходит из того, что в случае конечных множеств.

Числовые множества. Мы будем рассматривать следующие числовые множества, которые нам будут встречаться.

N - множество натуральных чисел. Это числа вида один, два, три и т. д. Мы не будем специально определять, что такое натуральное число.

Множество целых чисел Z, это числа ноль, один, минус один, два, минус два и т. д. То есть мы к натуральным числам добавляем ноль и отрицательные числа.

Q - множество рациональных чисел. Это числа вида M деленное на N, где M и N целые и N отличное от нуля. Рациональные числа могут быть записаны так же в виде десятичных дробей, при помощи известной операции деления. В результате деления будет получаться либо конечные дроби, либо периодические.

Например: одна двадцать пятая равна ноль целых четыре сотых, одна третья равна ноль целых и бесконечная цепочка троек или как говорят три в периоде. Кратко можно написать как ноль целых, запятая и три в скобках. Пять шестых рaвняется ноль целых восемь и три в периоде.

Числа, которые невозможно представить в виде m делённое на n, где m и n целые числа, называются иррациональными. Иррациональные числа не представляются в виде конечных десятичных дробей или в виде бесконечной периодической дроби. Например, число пи или корень из двух.

Дальше множество действительных чисел. Ее можно определить как множество десятичных дробей как периодических, так и непериодических. Непериодические бесконечные десятичные дроби называют иррациональными числами.

Действительные числа можно изображать в виде точек на числовой прямой. Для этого нужно взять прямую, отметить на ней точку, которой будет соответствовать число ноль - точка отсчета, выбрать единичный отрезок, то есть отметить некоторую точку числом единица и при этом мы уже на прямой выбираем положительное направление. Предположим мы отметили точку соотвествующую единице справа от нуля. С той стороны, где стоит единица, это направление считается положительным.

Слева от нуля будут отрицательные числа,

а справа от нуля - положительные.

Каждой точке А на этой прямой соответствует число, которая определяется так: находим длину отрезка ОА, принимая за единицу измерения отрезок от нуля до единицы

и эту длину называем координатой точки А и это число приписываем точке А. Если точка взята справа, то число берем с плюсом, а если слева, то берем с минусом.

Для действительных чисел определяется модуль.

Модуль числа Х обозначается так, он по определению равен Х, если Х больше или равно нуля и минус Х, если Х меньше нуля. Например: модуль пяти равен пяти, модуль минус трех равен трем,

то есть для пяти мы используем первую строчку, так как пять больше нуля а для минус трех используем вторую строчку, так как минус три меньше нуля.

В этом случае нужно поменять знак Х, то есть отбросить минус. Геометрический смысл:

модуля Х можно рассматривать как расстояние от точки А с координатой Х до начала координат.

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощностиконечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком . Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

• Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
• Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
• Возведение в степень a^b, где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

• Вычитание. Уменьшаемое − Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
• Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a = p * b + r, причём . Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе a можно представить в виде a = p * 0 + a, то есть можно было бы считать частным 0, а остатком = a.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чиселопределяется именно через бинарные операции сложения и умножения.