Доказательство. Докажем, что для любого простого p и целого неотрицательного a, ap − a делится на p

Докажем, что для любого простого p и целого неотрицательного a, ap − a делится на p. Доказываем индукцией по a.

База. Для a=0, a^p − a = 0 и делится на p.

Переход. Пускай утверждение верно для a=k. Докажем его для a=k+1.

Но kp − k делится на p по предположению индукции. Что же касается остальных слагаемых, то. Для, числитель этой дроби делится на p, а знаменатель — взаимно прост с p, следовательно, делится на p. Таким образом, вся сумма делится на p.

Для отрицательных a и нечётных p теорему легко доказать подстановкой b=-a. Для отрицательных a и p=2 истинность теоремы следует из a ²− a = a (a − 1)■

Обобщения теоремы

• Если p простое число, а m и n — такие положительные целые числа, что , тогда . Это утверждение используется в системе шифрования с открытым ключом RSA.
• Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера, которая, в свою очередь, является частным случаем теоремКармайкла и Лагранжа.
• Малая теорема Ферма также имеет изящное обобщение в теории конечных полей.

Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что

Практическое использование теоремы Вильсона для определения простоты числа нецелесообразно из-за сложности вычисления факториала.