Решение

Рис.1

Сечение (рис.1) состоит из швеллера № 12 и двутавра № 18.

1. Разбиваем сечение на отдельные фигуры:

Фигура 1 – швеллер № 12

В таблице сортамента приведены геометрические характеристики для швеллера, расположенного вертикально:

h 1 = 12 см, b 1 = 5, 2 см; = 1, 54 см А = 13, 3 см2, 304 см4; 31, 2 cм4; Jxy = 0 (оси х, у – главные)

В нашем примере швеллер расположен горизонтально (рис.1), поэтому

31, 2 см4 304 см4

y

Оси х₁ и у₁ по сравнению с табличными осями поменялись местами.

Фигура 2 – двутавр № 12

b	h 2 = 18 см, b 2 = 9 см, А = 23, 4 см2, 1290 см4; 82, 6 cм4, Jxy = 0 (оси х, у – главные)

2. Найдем координаты центра тяжести всего сечения в произвольной системе координат XОY. Систему координат XОY выбираем сами, таким образом, чтобы можно было легко определить координаты центров тяжести каждой из двух фигур.

см

см

Замечание: в зависимости от выбора системы XОY знаки величин могут быть и отрицательными.

Обозначим далее и т.д.

Определим координаты центра тяжести всего сечения т. С и построим центральные оси X _с, Y _с, параллельные исходным осям X, Y.

Полученную точку С(X _C Y _C) наносим на рис.1 и строим центральные оси X _C Y _C.

Замечание: если весь чертеж выполнен в масштабе, то точка С должна лежать на прямой, соединяющей точки С₁ и С₂.

Обозначим далее А = А ₁ + А ₂ = 13, 34 + 23, 4 = 36, 74 см².

3. Вычислим моменты инерции всего сечения относительно осей Х, У.

4. Подсчитаем моменты инерции сечения относительно центральных осей X _C , Y _C. Используем формулы параллельного переноса для случая перехода от произвольных осей фигуры к центральным (знаки " минус"):

Замечание: 1) Осевые моменты инерции всегда должны получаться положительными; 2) если точки С₁ и С₂ лежат в первой и третьей четвертях системы X _C Y _C, то центробежный момент должен получаться положительным (см.рис.1). Если во II и IV - то отрицательным.

5. Определим положение главных центральных осей X _гл Y _гл.

Так ¹ 0, то оси X _C Y _C – центральные, но не главные.

Необходимо найти угол b наклона оси X _гл к оси X _С.

b > 0 от оси Хс к Х гл против часовой стрелки b < 0 – по часовой стрелке

Угол b определяем из выражения .

Имеем .

2 b = arctg (0, 1444) = 8°13¢

b = 4°06¢

Строим оси X _гл Y _гл - рис.1.

6. Подсчитаем главные моменты инерции сечения, пользуясь формулами поворота осей на угол b

Проверка:

1. Большее значение (в нашем случае это = 2263.2435 cм⁴ " переходит" в еще большее ( = 2272.8644 см⁴), а меньшее ( = 405.6819см⁴) " переходит" в еще меньшее ( = 396.0610 см⁴).

2. Должно выполняться условие .

2263.2435 + 405.6819 = 2272.8644 + 396.0610

2668.9254 = 2668.9254

3. должно равняться нулю.

=

½ (2263.2435 – 405.6819)sin 8°13¢ - 134.0759 cos 8°13¢ = 0.3885» 0

7. Построим эллипс инерции сечения.

Полуоси эллипса, называемые радиусами инерции:

- откладываем по У_гл

- откладываем по оси Х_гл

На этих осях строим эллипс инерции (рис.1).

Выводы: Положение главных центральных осей X _гл и Y _гл показано на рис.1. Главные моменты инерции сечения: = 2272.8644 см⁴, =396.0610 см⁴.

Положение эллипса инерции сечения говорит о том, что при изгибе балки в направлении оси Y _гл ее жесткость и прочность будут наибольшими, а при изгибе в направлении X _гл - наименьшими.

Замечание: Если заданное сечение содержит стандартный уголок, расчет выполняется аналогично.

Рисуем уголок отдельно, пусть уголок 50х50х3. Выписываем из сортамента геометрические характеристики

b = 5 см; z 0 = 1, 33 см; A = 2, 46 см2; Jx = Jy = 7, 11 см4; J max = 11, 31 см4; J min = 2, 95 см4

Для уголка оси х, у не являются главными, поэтому центробежный момент инерции не равен нулю, а определяется по формуле

.

Знак плюс или минус определяется в зависимости от взаимного расположения уголка по отношению к осям х, у (см.рис.2).

В нашем случае «минус» т.к. большая часть сечения (на рисунке она заштрихована) расположена во 2-ой и 4-ой четвертях, где х, у< 0 ()

см⁴ ¹ 0,

в отличие от двутавра и швеллера, у которых J_ху = 0.

y x

y > 0 x

< 0 y x

Pис.3