Решение. 1. Для консольной балки строим эпюры, не определяя опорных реакций в заделке

Рис.1

1. Для консольной балки строим эпюры, не определяя опорных реакций в заделке. Идем со свободного конца:

1 участок 0 £ z £ l ₁

z m q Qy Mx

å Y = 0 Qy + qz = 0 Qy = - qz å Mx = 0 Mx + qz 2/2 - m = 0 Mx = - qz 2/2 + m

2 участок l ₁ £ z £ l ₁ + l ₂

z l 1 Qy Mx P q m

å Y = 0 Qy + ql 1 + P = 0 Qy = - ql 1 – P å Mx = 0 Mx + P (z - l 1) + ql 1(z - l 1/2) - m = 0 Mx = - P (z - l 1) - ql 1(z - l 1/2) + m

Строим эпюры Q_y и М_х под расчетной схемой конструкции (рис.1).

2. Подбор двутавра. По эпюрам Q_y и М_х определяем положение опасных сечений и соответствующие расчетные значения силовых факторов

½ M_х ½ _max = 50 кН× м в сечении z = 4 м,

½ Q_y ½ _max = 30 кН на 2-ом участке.

Запишем условие прочности по максимальным нормальным напряжениям:

Отсюда

Из таблицы сортамента находим значение =317см³, соответствующее двутавру № 24а.

Выпишем из таблицы геометрические характеристики двутавра № 24а и проверим его прочность по максимальным нормальным ½ s_z ½ _max и максимальным касательным ½ t_zy ½ _max напряжениям.

Двутавр № 24: h = 24 см; J_x = 3800 см⁴; W_x = 317 см³; S_x = 178 см³;

d = 0, 56 см

Максимальное нормальное напряжение

Недогрузка .

Условие прочности по s_{z max} выполняется. Недогрузка 1, 25 %.

Максимальные касательные напряжения в сечении у =0.

d – толщина стенки двутавра на уровне у =0.

Здесь допустима любая недогрузка (перегрузка не более 5 %).

Ответ: Двутавр № 24а удовлетворяет условиям прочности по s_{z max} и t_{z max} .

3. Дифференциальное уравнение изгиба = - M_x

V (z) - перемещение оси балки по направлению оси Y,

Е - модуль Юнга,

J_x - момент инерции сечения балки.

В соответствии с методом Клебша продолжим нагрузку q до правого конца балки и добавим снизу компенсирующую нагрузку - q (рис.1). Внешний момент m будет записываться в виде m (z - a)^o, где а - координата по оси z точки приложения момента. Интегрируем дважды не раскрывая скобок.

1 участок 0 £ z £ l ₁

2 участок l ₁ £ z £ l ₁ + l ₂

Для определения постоянных интегрирования C и D используем условия закрепления балки.

В заделке при l = 4 м угол поворота V ¢ (l) = 0 и прогиб V (l) = 0

= 0.

Отсюда С = 6 (кН× м²).

= 0.

D = 103 (кН× м³).

Подставляя найденные значения С и D в выражения для EJV ¢ (z) и EJV (z) вычисляем для каждой точки z соответствующее значение углов поворота и прогибов умноженных на константу EJ_x. Строим эпюры EJV ¢ (z) и EJV (z), под эпюрами Q_y и М_х. Все четыре эпюры связаны дифференциальными зависимостями.

4. Проверим жесткость балки. Двутавр № 24а: Е = 2× 10⁴ кН/см²,

J_x = 3800 cм⁴ .

Условие жесткости V_max £ [ f ]

Допускаемое значение прогиба см

По эпюре EJV (z) берем максимальное значение EJV_max = 107 кН× м³ = = 107× 10⁶ кН× см³.

(см)

Условие жесткости выполняется.

Двутавр № 24а подходит для данной конструкции и по прочности и по жесткости.