Двумерный симплекс-элемент.

Двумерный симплекс – элемент показан на рисунке 9.3 – это треугольник с прямолинейными сторонами и тремя узлами, по одному в каждой вершине. Примем последовательную логическую нумерацию узлов элемента против часовой стрелки, начиная от произвольно выбранного i-го узла. Узловые значения скалярной величины j обозначим через Фi, Фj, Фk, а координатные пары трех узлов - через (Xi, Yi), (Xj, Yj), (Xk, Yk).

Рис. 5.3	Рис. 5.4

Интерполяционный полином в данном случае примет вид:

j = a₁ +a₂ x +a₃ y (5.7)

В узлах выполняются следующие условия: j = Фi при x = Xi и y = Yi

j = Фj при x = Xj и y = Yj j = Фk при x = Xk и y = Yk

Подстановка их в (9.7) приводят к системе трех уравнений:

Фi = a1 + a2 Xi + a3 Yi

Ф j = a1 + a2 Xj + a3 Yj (9.8)

Фk = a1 + a2 Xk + a3 Yk

Обозначим площадь симплекс – треугольника буквой А. Можно показать, что определитель системы (9.8) связан с А (рис. 5.4) соотношением:

[XjYk – XkYj + XiYj – XiYk + XkYi – XjYi] =2A

Решая систему (9.8) с учетом (9.8) и вводя обозначения:

Ai=(Xj Yk – Xk Yj); Bi=(Yj – Yk); Ci=(Xk – Xj),

Aj = (Xk Yi – Xi Yk), Bj = (Yk – Yi), Cj =(Xi – Xk), (9.9)

Ak =(Xi Yj – Xj Yi), Bk = (Yi – Yj), Ck = (Xj – Xi),

получим значения искомых коэффициентов:

a1 = 0, 5 А ^–1 [ Ai Фi + Aj Фj + Ak Фk ]

a2 = 0, 5 А ^–1 [ Bi Фi + Bj Фj + Bk Фk ]

a3 = 0, 5 А ^–1 [ Ci Фi + Cj Фj + Ck Фk ]

Подставляя значения a1, a2, a3 в (9.7) и преобразуя получаемые выражения к виду, подобному (9.6), получим выражение для скалярной величины j:

j = Ni Фi + Nj Фj + Nk Фk (9.10)

где:

Значение Ni в i-м узле составит: Ni = 0, 5 А ^–1 [Ai + Bi x + Ci y ] =

= 0, 5 А ^–1 [Xj Yk – Xk Yj + (Yj – Yk) Xi + (Xk – Xj) Yi] =

= 0, 5 А ^–1 [XjYk – XkYj + XiYj – XiYk + XkYi – XjYi] = 1

Непосредственной проверкой можно показать, что в остальных узлах Ni = 0.

Из (9.11) видно, что ФФ линейны по x и y, то есть, градиенты этой величины в направлениях Ox и Oy будут постоянны. Заметим, что:

поэтому градиент j в направлении оси Ох составит:

Поскольку, переменные В_b и величины Ф_b начальных условий (при b = i, j, k) фиксируются, как только задаются узловые координаты, то частная производная в (9.12) имеет постоянное значение. Отсюда следует важный вывод: постоянство градиента внутри каждого элемента означает, что необходимо применять очень малые по величине элементы, чтобы аппроксимировать быстро меняющую функцию j.

Пример 9.2. Требуется получить соотношение, определяющее элемент, и вычислить значение давления в точке В с координатами (2; 1, 5), если заданы начальные значения: Pi = 40 H/см², Pj = 34 H/см², Pk = 46 H/см².

Давление р внутри элемента определяется по формуле: р = Ni Рi + Nj Рj + Nk Рk

где ФФ Ni, Nj и Nk определяются по (9.11).

Подставляя значения координат узлов в обозначения (9.9) для А_b, В_b, С_b (при b = i, j, k), получим значения этих коэффициентов:

Ai = (4·5)–(2·1, 5) = 19; Aj = (2·0) –(0·5) = 0; Ak =(0·0, 5)–(4·0) = 0;

Bi = (0, 5–5) = – 4, 5; Bj = (5 – 0) = 5; Bk =(0 – 0, 5) = – 0, 5;

Ci = (2–4) = – 2; Cj = (0 – 2) = – 2; Ck =(4– 0) = 4;

Рис. 9.4	Рис. 9.5

Вычисляем определитель:

После подстановки констант в ФФ выражение для р примет вид:

Значение давления в точке В с координатами (2; 1, 5) равно:

Отметим два полезных свойства треугольного элемента. Во-первых, функция j изменяется линейно между двумя любыми узлами. Так как узлы определяют границы элемента, j меняется линейно вдоль каждой из трех его сторон. Отсюда следует второе полезное свойство: любая линия, вдоль которой j принимает одинаковые значения, есть прямая линия, пересекающая две стороны элемента. Исключением будет случай, когда во всех узлах значения j одинаковые. Приведенные два свойства позволяют легко определять линии уровня скалярной величины. Обратимся к предыдущему примеру, чтобы проиллюстрировать эти свойства.

20.Трёхмерный симплекс-элемент.

Трехмерный симплекс – элемент показан на рисунке 9.5 – это тетраэдр, четыре узла которого обозначены индексами i, j, k, q, причем обход узлов i, j, k, q проведен, как и ранее, против часовой стрелки. Запишем интерполяционный полином для тетраэдра:

j = a₁ + a₂ x + a₃ y + a₄ z (5.13)

Коэффициенты можно определить, используя следующие 4 условия в узлах:

Эта система может быть решена с помощью правил Крамера и связана с вычислением 5-ти определителей. В матричной форме система имеет (9.14) вид:

{Ф} = [C] {a} (9.15)

где:

{Ф}^T = [Фi Фj Фk Фq]; {a}^T = [a_i a_j a_k a_q]; (9.16)

Строка коэффициентов a в (9.16) может быть получена обращением матрицы [C] à [C]^–1 с последующим умножением (9.15) на [C]^–1.

{a} = [C]^–1 [ Ф ] (9.18)

Интерполяционный полином (9.13) в матричной форме имеет вид:

Поэтому с учетом (9.18) имеем:

j = [ 1 x y z ] [C]^–1 [ Ф ] (9.19)

Определитель матрицы [C] равен шести объемам тетраэдра.

Пример 9.4. Определить ФФ, используя процедуру обращения матрицы для симплекс – элемента на рисунке 9.5.

Решение. По значениям координат узлов составим матрицу [C] (слева) и соответствующую ей обратную матрицу [C] ^–1:

Для определения ФФ воспользуемся матричным представлением интерполяционного полинома (9.6), согласно которому j = [N] {Ф}, откуда, учитывая выражение (9.19), имеем:

[N] = [ 1 x y z ] [C]^–1

то есть:

или:

Таким образом, ФФ рассматриваемого элемента имеют вид:

21.Функции формы (смотри вопр.18).