Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Одномерный симплекс-элемент.




Одномерный симплекс – элемент представляет собой прямолинейный отрезок длины L с двумя узлами – по одному на каждом конце отрезка (рисунок 3.1.2). Узлы обозначаются индексами i и j, значения функции в узлах – через Фi и Фj соответственно.

Рис. 3.1.2

Начало системы координат располагается вне КЭ. Полиномиальная функция j для скалярной величины (например, температуры – Т или давления – Р) такова:

j = a1 +a2 x

Коэффициенты a1 и a2 определяются с помощью условий в узловых точках:

j = Фi при x = Xi и j = Фj при x = Xj.

Эти узловые условия приводят к системе двух уравнений:

Фi = a1 +a2 Xi; Фj = a1 +a2

решение которой дает:

a1= (Фi Xj - Фj Xi)/L; a2 = (Фj - Фi )/L

Подставляя найденные значения a1 и a2 в формулу (9.3), получим:

j = (ФiXjjXi)/L +{(Фji)/L}x

Данное уравнение может быть переписано в виде:

j = [(Xj-x)/L]Фi+[(x-Xi)/L]Фj

Линейные функции от х в формуле называются функциями формы или интерполяционными функциями. Далее эти функции обозначаются через N. Каждая функция формы должна быть снабжена нижним индексом для обозначения узла, к которому она относится. Произвольную функцию формы будем обозначать через Nb. В формулу входят следующие функции формы:

Ni = Xj-x ; и Nj = x-Xi
L L

Используя эти функции формы, запишем выражение (9.5) в матричной форме:

j = NiФi + NjФj = [N]{Ф} = [Ni Nj]· Фi = [Ni Nj]· [Фi Фj]Т  
Фj

Функция Ni = 1 в узле с номером i и равна нулю в j-м узле. Аналогично функция Nj = 1 в узле с номером j и равна нулю в i-м узле. Эти значения характерны для функций формы. Они равны 1 в одном определенном узле и обращаются в 0 в остальных узлах.

Пример 3.1.1. Одномерный симплекс-элемент используется для аппроксимации температуры в стержне. Узлы 1 и 2 имеют координаты 1,5 и 6 см соответственно. Известно, что температура в узлах 1 и 2 равна 120 и 90 градусов соответственно. Требуется определить температуру в точке х = 4 см и градиент температуры внутри элемента.

Решение: Пользуясь выражением (9.5) для одномерного симплекс – элемента, можно записать закон изменения температуры внутри КЭ:

t = (Xj-x) Ti + (x-Xi) Tj
L L

Данные КЭ: Xi=1,5 см; Ti=120oC; X j=6,0 см;

Tj=90oC; x=4 см; L = (Xj – Xj ) = 4,5 см.

Подставляя данные в формулу для температуры получаем:

t = (1,5 - 4) 120o + (4 – 1,5) 90o = 103,33 oC
4,5 4,5

Для градиента температуры имеем:

dt = - Ti + Tj = - 120o + 90o = -6,67 oC/см
dx L L 4,5 4,5

 




mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.006 сек.)Пожаловаться на материал