Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Переходные процессы заряда и разряда емкостного элемента в цепи с источником постоянной ЭДС.⇐ ПредыдущаяСтр 28 из 28
А. Зарядка емкостного элемента от источника постоянной ЭДС через резистивный элемент. Переходный процесс в цепи на рис. 5 описывается неоднородным дифференциальным уравнением на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и = ri и соотношения между током зарядки и напряжением в емкостном элементе i =Cduc/dt, т. е. (19) Общее решение уравнения (19) представляет собой сумму двух составляющих: uС=uС у + uСcв. Первая составляющая соответствует установившемуся режиму uСу=Е, так как зарядка емкостного элемента закончится, когда напряжение uс будет равно напряжению источника ЭДС. Рис. 5 Вторая составляющая соответствует свободному процессу, т. е. решению однородного дифференциального уравнения первого порядка и равна (20) где р=- 1/rС — корень характеристического уравнения rСр+1=0. Таким образом, общее решение будет иметь вид (21) Для определения значения постоянной А в (21) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента. Будем считать, что до замыкания ключа, т. е. в момент времени t = 0_, емкостный элемент не был заряжен. Поэтому ис( 0_) = 0 = ис (0+) =Е + А, откуда А = -Е. Подставив значение постоянной А в (21), найдем напряжение на емкостном элементе во время зарядки (рис. 5): ис = E (1-е-t/т), (22) где τ = rС имеет размерность времени (Ом • Ф = Ом • А • с/В =с) и называется постоянной времени цепи. Она, как и постоянная времени цепи на рис. 4, а определяет скорость переходного процесса. Зависимость от времени напряжения на емкостном элементе [см. (22)] определяет зависимости от времени зарядного тока и напряжения на резистивном элементе (рис. 5):
Заметим, что в первый момент после замыкания ключа, т. е. при t = 0 +, ток в цепи i(0+) =Е /r емкостный элемент в этот момент времени как бы коротко замкнут (напряжение на нем равно нулю). Поэтому при малом значении сопротивления r в цепи может наблюдаться значительный скачок тока. При 0 ≤ t ≤ τ скорость изменения напряжения на емкостном элементе можно приближенно считать постоянной:
а напряжение - пропорциональным интегралу напряжения источника ЭДС Е. Если на входе цепи действует источник изменяющейся ЭДС е, то может оказаться, что для моментов времени переходного процесса, в которые иr < < ис, приближенно ис ≈ е, a ur = ri = rС duC/dt≈ rCde/dt пропорционально скорости изменения напряжения источника. Следовательно, цепь с последовательным соединением резистивного и емкостного элементов, так же как и цепь с последовательным соединением резистивного и индуктивного элементов, рассмотренную выше, при определенных условиях можно рассматривать и как интегрирующую, и как дифференцирующую. В большинстве случаев процесс зарядки можно считать практически закончившимся через интервал времени, равный 3τ. Этот интервал времени может быть достаточно большим (чем больше r и С, тем больше и τ), что широко используется, например, в реле времени — устройствах, срабатывающих по истечении определенного времени. Б. Разрядка емкостного элемента через резистивный элемент. В электрическом поле заряженного емкостного элемента сосредоточена энергия, за счет которой емкостный элемент в течение некоторого времени сам может служить источником энергии. После подключения емкостного элемента, предварительно заряженного до напряжения иC = Е, к резистивному элементу с сопротивлением r (рис. 6, а) ток в цепи будет обусловлен изменением заряда q емкостного элемента: (23) где знак минус указывает, что ток i - это ток разрядки в контуре цепи, обозначенном на рисунке штриховой линией, направленный навстречу напряжению на емкостном элементе. Рис. 6 Составим дифференциальное уравнение переходного процесса в контуре цепи, обозначенном на рис. 6, а штриховой линией, на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и соотношения (23): (24) Так как в цепи разрядки емкостного элемента нет источника ЭДС, то дифференциальное уравнение (24) однородное и его общее решение состоит только из свободной составляющей: uс=uс =Ae-t/(rC). (25) Для определения постоянной А в (25) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (4). Так как до коммутации, т. е. и в момент времени t = 0_, емкостный элемент был заряжен до напряжения источника, то uс(0 _) =Е = uс(0 +)= А. Подставив значение постоянной А в (25), получим закон изменения напряжения при разрядке емкостного элемента (рис. 6, б): где τ = rС — постоянная времени цепи. Разрядный ток найдем по (23): Ток разрядки скачком изменяется от нуля до значения i(0 + )= -Е/r, а затем убывает по экспоненциальному закону (рис. 6, б).
|